[논문 리뷰] Carrollian hydrodynamics and symplectic structure on stretched horizons

Laurent Freidel, Puttarak Jai-akson|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 11.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일관성 있는 기하학적 기초를 바탕으로 일반 상대성 이론에서 시간적으로 늘어진 사건의 지평선과 광선 지평선을 유니티하는 데 성공한다. 칼로우리안 유체역학과 심플렉틱 기하학을 활용하여, 늘어진 지평선 상의 중력 자유도와 칼로우리안 유체 변수 간의 기하학적 사전을 수립한다. 이에 따라 지평선 상에서 아인슈타인 방정식은 칼로우리안 유체역학의 보존 법칙으로 축소되며, 사전-심플렉틱 포텐셜과 노이터 노르말화량은 모두 유체의 쌍대 변수로 완전히 표현된다.

ABSTRACT

The membrane paradigm displays underlying connections between a timelike stretched horizon and a null boundary (such as a black hole horizon) and bridges the gravitational dynamics of the horizon with fluid dynamics. In this work, we revisit the membrane viewpoint of a finite distance null boundary and present a unified geometrical treatment to the stretched horizon and the null boundary based on the rigging technique of hypersurfaces. This allows us to provide a unified geometrical description of null and timelike hypersurfaces, which resolves the singularity of the null limit appearing in the conventional stretched horizon description. We also extend the Carrollian fluid picture and the geometrical Carrollian description of the null horizon, which have been recently argued to be the correct fluid picture of the null boundary, to the stretched horizon. To this end, we draw a dictionary between gravitational degrees of freedom on the stretched horizon and the Carrollian fluid quantities and show that Einstein's equations projected onto the horizon are the Carrollian hydrodynamic conservation laws. Lastly, we report that the gravitational pre-symplectic potential of the stretched horizon can be expressed in terms of conjugate variables of Carrollian fluids and also derive the Carrollian conservation laws and the corresponding Noether charges from symmetries.

연구 동기 및 목표

• 일관된 기하학적 기초를 바탕으로, 늘어진 지평선과 광선 지평선의 기하학적 기술을 통합하기 위한 목표.
• 이전에는 광선 지평선에만 적용된 칼로우리안 유체 그림을 유한한 거리에 있는 늘어진 지평선으로 확장하기 위한 목표.
• 늘어진 지평선 상의 중력 변수와 에너지 밀도, 운동량 플럭스, 점성도와 같은 칼로우리안 유체 양들 간의 정확한 사전을 수립하기 위한 목표.
• 늘어진 지평선 상에 투영된 아인슈타인 방정식이 칼로우리안 유체역학의 보존 법칙과 동치임을 보여주기 위한 목표.
• 심플렉틱 기하학적 이론의 심플렉틱 구조를 기반으로 늘어진 지평선 상의 사전-심플렉틱 포텐셜과 노이터 노르말화량을 칼로우리안 유체의 쌍대 변수로 유도하기 위한 목표.

제안 방법

• 일관된 기하학적 기초를 확보하기 위해, 시간적 및 광선 초평면에 모두 적용 가능한 린킹 기법을 사용하여, 기존의 늘어진 지평선 기술에서의 특이한 극한을 해결한다.
• 늘어진 지평선 상에서의 공변 미분과 곡률을 정의하기 위해, 린킹된 메트릭, 린킹된 미분, 린킹된 접속을 도입한다.
• 아인슈타인-힐베르트 작용을 투영하여 늘어진 지평선 상의 중력 사전-심플렉틱 포텐셜을 유도하고, 에너지 밀도 및 운동량 플럭스와 같은 유체 쌍대 변수로 표현한다.
• 외적 곡률, 비틀림, 확장과 같은 지평선의 성질을 칼로우리안 유체 변수, 예를 들어 스트레스-에너지 텐서와 전류 밀도로 매핑함으로써, 유체-중력 사전을 수립한다.
• 공변 위상공간 형식을 적용하여, 지평선 상의 접선 대칭에 관련된 노이터 노르말화량을 유도하고, 이들이 보존되는 유체 양들과 일치함을 보인다.
• 곱의 법칙과 기하학적 항등식을 사용하여, 유도된 메트릭과 접속의 변형을 단순화함으로써, 최종적으로 유체 변수로 표현된 사전-심플렉틱 포텐셜을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 일관된 수학적 기초를 사용하여 늘어진 지평선과 광선 지평선의 기하학적 기술을 통합할 수 있는가?
• RQ2 늘어진 지평선 상의 중력 자유도와 칼로우리안 유체 변수 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 늘어진 지평선 상에 투영된 아인슈타인 방정식은 어떻게 칼로우리안 유체역학의 보존 법칙으로 축소되는가?
• RQ4 늘어진 지평선 상의 중력 사전-심플렉틱 포텐셜은 칼로우리안 유체의 쌍대 변수로 표현될 수 있는가?
• RQ5 늘어진 지평선 상의 접선 대칭에 대한 노이터 노르말화량은 칼로우리안 유체 그림의 보존 양들과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 늘어진 지평선 상의 사전-심플렉틱 포텐셜은 에너지 밀도, 운동량 플럭스, 메트릭 변형을 포함한 칼로우리안 유체 쌍대 변수로 완전히 표현된다.
• 늘어진 지평선 상에 투영된 아인슈타인 방정식은 칼로우리안 유체의 보존 법칙과 동치이며, 스트레스-에너지 텐서와 전류 밀도가 유체의 유체역학적 양들과 정확히 일치한다.
• 표면 중력의 변형 δκ가 기하학적 양의 변형으로 자연스럽게 유도됨을 보여주어, 유체 그림과의 일관성을 확인한다.
• 늘어진 지평선 상의 접선 미분형 변환에 관련된 노이터 노르말화량은 심플렉틱 구조에서 유도되며, 보존되는 유체 양들과 일치한다.
• 심플렉틱 포텐셜에는 (δα - δᾱ)/2 비례하는 항이 포함되어 있으며, 이는 지평선의 면적 형식의 변형과 관련되어 있고, 유체의 엔트로피 유사 변수와 연결된다.
• 유도 과정을 통해 늘어진 지평선 상의 중력 역학이 칼로우리안 유체역학과 완전히 동치임을 확인하였으며, 기하학적 변수와 유체 변수 간의 정확한 사전이 수립되었다.