[논문 리뷰] Categorical Structures on Bundle Gerbes and Higher Geometric Prequantisation

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 70인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 번들 게르베의 단면에 대한 2-힐버트 공간을 구축하여, 고차 기하 양자화를 위한 분류화된 전양자 구조를 제공한다. 번들 게르베의 사상 범주에 덧셈, 쌍대, 내부 함의 구조를 도입함으로써, 유한 차원 힐버트 공간의 리그-모듈러 범주를 구축하고, 두 변수의 수반 구조를 통해 단면의 범주가 2-힐버트 공간이 됨을 증명한다. 이는 일반적인 선다발과 접속으로의 자연스러운 차원 축소를 수반한다.

ABSTRACT

We present a construction of a 2-Hilbert space of sections of a bundle gerbe, a suitable candidate for a prequantum 2-Hilbert space in higher geometric quantisation. We introduce a direct sum on the morphism categories in the 2-category of bundle gerbes and show that these categories are cartesian monoidal and abelian. Endomorphisms of the trivial bundle gerbe, or higher functions, carry the structure of a rig-category, which acts on generic morphism categories of bundle gerbes. We continue by presenting a categorification of the hermitean metric on a hermitean line bundle. This is achieved by introducing a functorial dual that extends the dual of vector bundles to morphisms of bundle gerbes, and constructing a two-variable adjunction for the aforementioned rig-module category structure on morphism categories. Its right internal hom is the module action, composed by taking the dual of higher functions, while the left internal hom is interpreted as a bundle gerbe metric. Sections of bundle gerbes are defined as morphisms from the trivial bundle gerbe to a given bundle gerbe. The resulting categories of sections carry a rig-module structure over the category of finite-dimensional Hilbert spaces. A suitable definition of 2-Hilbert spaces is given, modifying previous definitions by the use of two-variable adjunctions. We prove that the category of sections of a bundle gerbe fits into this framework, thus obtaining a 2-Hilbert space of sections. In particular, this can be constructed for prequantum bundle gerbes in problems of higher geometric quantisation. We define a dimensional reduction functor and show that the categorical structures introduced on bundle gerbes naturally reduce to their counterparts on hermitean line bundles with connections. In several places in this thesis, we provide examples, making 2-Hilbert spaces of sections and dimensional reduction very explicit.

연구 동기 및 목표

• 번들 게르베를 사용하여 고차 기하 양자화를 위한 분류화된 전양자 프레임워크를 개발한다.
• 번들 게르베의 단면 범주에 2-힐버트 공간 구조를 정의한다.
• 번들 게르베의 사상 범주에 덧셈, 모노이드, 쌍대 구조를 부여한다.
• 표준 기하 양자화를 선다발에서 복원하는 차원 축소 함자를 수립한다.
• 추상적 프레임워크를 구체적으로 실현하는 명시적 예와 구축을 제공한다.

제안 방법

• 번들 게르베의 사상 범주에 직접 합을 도입하여, 이들이 카르테시안 모노이드이자 아벨 범주임을 보인다.
• 번들 게르베의 사상에 대한 함성적 쌍대를 구성하며, 벡터 다발에서의 쌍대를 확장한다.
• 리그-모듈러 구조를 위한 이변수 수반을 정의하며, 오른쪽 내부 함의는 모듈러 작용으로, 왼쪽 내부 함의는 번들 게르베 계량으로 기능한다.
• 단면의 범주에 유한 차원 힐버트 공간의 범주 위에서 리그-모듈러 구조를 도입한다.
• 두 변수 수반을 기반으로 한 수정된 2-힐버트 공간 정의를 적용하여, 모듈러 및 덧셈 구조와의 호환성을 확보한다.
• 번들 게르베 구조를 헤르미트 선다발과 접속으로 매핑하는 차원 축소 함자를 적용하며, 범주적 및 기하적 특성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 기하 양자화의 맥락에서 번들 게르베에 대한 2-힐버트 공간의 단면은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 2-힐버트 공간 구조를 지지하기 위해 번들 게르베의 사상 범주에 도입해야 할 분류적 구조—덧셈, 쌍대, 내부 함의—는 무엇인가?
• RQ3 제안된 2-힐버트 공간 프레임워크는 차원 축소를 통해 표준 기하 양자화와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 높은 차수의 함수의 리그-범주(항상 번들 게르베의 자기함수)는 단면의 모듈러 구조를 조직하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 R³나 분해 가능한 번들 게르베와 같은 구체적 예에서 실제로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 번들 게르베의 단면의 범주는 표준적인 직접 합과 텐서곱을 갖는 유한 차원 힐버트 공간의 범주 위에서 리그-모듈러 구조를 자연스럽게 지닌다.
• 번들 게르베의 사상 범주는 카르테시안 모노이드이자 아벨 범주임을 입증하여 덧셈 구조의 구축을 가능하게 한다.
• 항상 번들 게르베의 자기함수는 리그-범주를 이루며, 일반적인 사상 범주는 이 리그-범주 위의 모듈러 범주이다.
• 이변수 수반을 구성하였으며, 오른쪽 내부 함의는 모듈러 작용으로, 왼쪽 내부 함의는 번들 게르베 계량으로 정의된다.
• 제안된 정의에 따라 단면의 범주는 두 변수 수반을 통합하여 이전의 정의를 일반화한 2-힐버트 공간의 공리를 충족한다.
• 차원 축소 함자는 번들 게르베의 2-범주를 헤르미트 선다발과 접속의 범주로 매핑하며, 낮은 차원에서 표준적인 기하 구조를 복원한다.