[논문 리뷰] Categorified Algebra and Equivariant Homotopy Theory

John D. Berman|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 및 반고리 무한 범주를 사용하여 분류화된 대수적 프레임워크를 개발하여 범주를 대수적 대상으로 연구한다. 이는 유한 집합의 반고리 범주 Fin에 대한 모듈러스가 코카르티esian 모나드 무한 범주임을 증명하고, Burn에 대한 모듈러스가 가역 무한 범주임을 보여준다. 또한 법워 라이프 이론이 Fin^op-모듈러스로서 순환적으로 나타남을 증명하여 고차 범주에서 대수적 양화 정리의 가능성을 열며, 나아가 군론적 Eilenberg-Watts 정리를 통해 난이도와 진정성의 등가호모토피 이론 사이의 공식적 이중성에 대한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

This dissertation comprises three collections of results, all united by a common theme. The theme is the study of categories via algebraic techniques, considering categories themselves as algebraic objects. This algebraic approach to category theory is central to noncommutative algebraic geometry, as realized by recent advances in the study of noncommutative motives. We have success proving algebraic results in the general setting of symmetric monoidal and semiring infinity categories, which categorify abelian groups and rings, respectively. For example, we prove that modules over the semiring category Fin of finite sets are cocartesian monoidal infinity categories, and modules over Burn (the Burnside infinity category) are additive infinity categories. As a consequence, we can regard Lawvere theories as cyclic Fin^op-modules, leading to algebraic foundations for the higher categorical study of Lawvere theories. We prove that Lawvere theories function as a home for an algebraic Yoneda lemma. Finally, we provide evidence for a formal duality between naive and genuine equivariant homotopy theory, in the form of a group-theoretic Eilenberg-Watts Theorem. This sets up a parallel between equivariant homotopy theory and motivic homotopy theory, where Burnside constructions are analogous to Morita theory. We conjecture that this relationship could be made precise within the context of noncommutative motives over the field with one element. In fact, the connections equivariant homotopy theory and the field with one element recur throughout the thesis. There are promising suggestions that each of these two subjects can be advanced by further work in this area of algebraic category theory.

연구 동기 및 목표

• 분류화된 대수적 구조를 사용하여 고차 범주론의 공식적인 대수적 기초를 확립하는 것.
• Fin^op 위의 모듈러스 구조를 통해 고차 범주적 환경에서 법워 라이프 이론의 역할을 조사하는 것.
• 군론적 Eilenberg-Watts 정리를 통해 난이도와 진정성의 등가호모토피 이론 사이의 이중성 공식화를 시도하는 것.
• 등가호모토피 이론과 하나의 원소를 가진 체 위의 비가환 모티프를 연결하는 것.
• Burnside 무한 범주와 유한 집합 모듈러스가 각각 가역 무한 범주와 코카르티esian 모나드 무한 범주를 유도함을 보여주는 것.

제안 방법

• 대칭 모나드 및 반고리 무한 범주를 사용하여 아벨 군과 환을 분류화하는 것.
• 유한 집합의 반고리 범주 Fin 위의 모듈러스를 분석하여, 그것이 코카르티esian 모나드 무한 범주를 이룬다는 것을 보여주는 것.
• Burnside 무한 범주 위의 모듈러스를 연구하여, 그것이 가역 무한 범주를 유도한다는 것을 증명하는 것.
• 법워 라이프 이론을 Fin^op 위의 순환 모듈러스로 표현하여 고차 범주에서 대수적 양화 정리의 가능성을 열어주는 것.
• 등가호모토피 이론에서의 이중성 모델링을 위해 군론적 Eilenberg-Watts 정리를 제안하는 것.
• 모티브 호모토피 이론에서 Burnside 구성과 Morita 이론 사이의 유사성을 도출하여, 비가환 모티프와의 깊은 연결 고리를 시사하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주들은 어떻게 분류화된 대수적 구조를 통해 체계적으로 대수적 대상으로 연구될 수 있는가?
• RQ2 Fin^op 위의 모듈러스로 표현되었을 때, 법워 라이프 이론은 고차 범주론적 대수학에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 군론적 Eilenberg-Watts 정리를 통해 난이도와 진정성의 등가호모토피 이론 사이의 공식적 이중성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 Burnside 무한 범주는 어떤 방식으로 모듈러스 이론을 통해 가역 무한 범주와 관련이 있는가?
• RQ5 등가호모토피 이론과 하나의 원소를 가진 체 위의 비가환 모티프를 통합할 잠재력은 무엇인가?

주요 결과

• 유한 집합의 반고리 범주 Fin 위의 모듈러스가 코카르티esian 모나드 무한 범주임을 입증하였다.
• Burnside 무한 범주 위의 모듈러스가 가역 무한 범주임을 증명하였다.
• 법워 라이프 이론이 순환적인 Fin^op-모듈러스로 식별되었으며, 이는 고차 범주에서 대수적 양화 정리의 공식화 가능성을 열었다.
• 군론적 Eilenberg-Watts 정리가 확립되었으며, 이는 난이도와 진정성의 등가호모토피 이론 사이의 공식적 이중성에 대한 증거를 제공한다.
• 이러한 구성들은 모티브 호모토피 이론에서 Burnside 구성과 Morita 이론 사이의 깊은 유사성을 암시한다.
• 결과들은 등가호모토피 이론과 하나의 원소를 가진 체 위의 비가환 모티프가 이 대수적 범주론적 프레임워크를 통해 통합될 수 있다는 추측을 지지한다.