[논문 리뷰] Categorified trace for module tensor categories over braided tensor categories

André Henriques, David Penneys외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 브라운드 펄서피셜 카테고리 C 위의 모듈러 텐서 카테고리 M에 대해, 브라운드이고 분지하는 튜브를 갖춘 풍부한 그림적 계산법을 갖춘 분류화된 트레이스 함자 TrC: M → C 를 제안한다. 주요 기여는 TrC가 대수적 구조를 유지함을 증명하는 것이다. 즉, A와 B가 대수적일 때 TrC(A)와 TrC(A⊗B) 역시 대수적일 뿐만 아니라, A와 B가 반단순일 경우에도 TrC는 이를 유지한다. (약간의 가정 하에.)

ABSTRACT

Given a braided pivotal category $\mathcal C$ and a pivotal module tensor category $\mathcal M$, we define a functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}:\mathcal M o \mathcal C$, called the associated categorified trace. By a result of Bezrukavnikov, Finkelberg and Ostrik, the functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ comes equipped with natural isomorphisms $τ_{x,y}:\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(x \otimes y) o \mathrm{Tr}_{\mathcal C}(y \otimes x)$, which we call the traciators. This situation lends itself to a diagramatic calculus of `strings on cylinders', where the traciator corresponds to wrapping a string around the back of a cylinder. We show that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ in fact has a much richer graphical calculus in which the tubes are allowed to branch and braid. Given algebra objects $A$ and $B$, we prove that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are again algebra objects. Moreover, provided certain mild assumptions are satisfied, $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are semisimple whenever $A$ and $B$ are semisimple.

연구 동기 및 목표

• . 브라운드 텐서 카테고리 위의 펄서피셜 모듈러 텐서 카테고리에 대해 분류화된 트레이스 함자 TrC: M → C 를 정의한다.
• . 표준적인 스트링 다이어그램 계산법을 일반화하는 브라운드이고 분지하는 튜브를 사용한 TrC에 대한 그림적 계산법을 수립한다.
• . TrC가 대수적 구조를 유지함을 증명하며, A와 B가 대수적일 때 TrC(A)와 TrC(A⊗B)가 대수적임을 보인다.
• . TrC가 반단순성을 유지하는 조건을 설정한다: A와 B가 반단순일 경우 TrC(A)와 TrC(A⊗B)도 반단순이다.
• . 트라시에이터, 곱셈, 항등원 사상들을 브라운딩과 토크를 포함하는 일관된 다이어그램 계산법으로 통합한다.

제안 방법

• . 분류화된 트레이스 TrC는 함자 Φ: C → M의 우측 수반 함자로 정의되며, 여기서 Φ(c) = c · 1M 이다.
• . 트라시에이터 τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) 는 중심 통합 ΦZ: C → Z(M) 를 통해 자연 동형사상으로부터 구성된다.
• . 물체들이 평면에서 실린더로 올라가며, 3차원에서 튜브를 사용한 완전한 그림적 계산법이 개발된다. 여기서 브라운딩과 분지는 허용된다.
• . 곱셈 사상 µx,y: TrC(x)⊗TrC(y) → TrC(x⊗y) 와 항등원 사상 i: 1C → TrC(1M) 는 우측 수반의 립스 모노이드 성질로부터 유도된다.
• . 트라시에이터, 곱셈, 그리고 C의 브라운딩/토크 간의 상호작용은 위상 불변성( isotopy invariance )을 포함하는 다이어그램 항등식을 통해 형식화된다.
• . 이 이론은 TrC(A)와 TrC(A⊗B) 가 A와 B 로부터 유도된 대수적 구조를 상속함을 보여주며, 약간의 가정 하에 반단순성이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 브라운드 텐서 카테고리 위의 모듈러 텐서 카테고리에 대해 분류화된 트레이스 함자를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 . 특히 튜브의 브라운딩과 분지가 포함된 경우, 분류화된 트레이스의 행동을 지배하는 그림적 계산법은 무엇인가?
• RQ3 . 모듈러 카테고리의 대상들에 대한 대수적 구조가 분류화된 트레이스에 의해 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 . 분류화된 트레이스가 대상의 반단순성을 유지하는 조건은 언제인가?
• RQ5 . 트라시에이터, 곱셈, 항등원 사상은 기저 카테고리 C의 브라운딩과 토크와 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• . 분류화된 트레이스 TrC: M → C 는 자연스러운 항등원 및 곱셈 사상이 있는 립스 모노이드 함자이다.
• . 트라시에이터 τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) 는 존재하며, 순환성 공리 τx,y⊗z = τz⊗x,y ◦ τx⊗y,z 를 만족한다.
• . A가 M 내의 대수적 대상일 때마다 TrC(A) 는 C 내의 대수적 대상이 된다.
• . A와 B가 M 내의 대수적 대상일 때마다 TrC(A⊗B) 는 C 내의 대수적 대상이 된다.
• . A와 B가 M 내의 반단순 대수적 대상일 경우, 약간의 가정 하에 TrC(A) 와 TrC(A⊗B) 는 C 내의 반단순 대수적 대상이 된다.
• . TrC의 그림적 계산법은 [HPT15]의 후속 논문에서 사용된 C 내부의 평면 대수를 통해 위상 불변성( isotopy invariance )을 갖는다.