[논문 리뷰] Category forcings, $MM^{+++}$, and generic absoluteness for the theory of strong forcing axioms

Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Martin의 최대성 원리의 강력한 확장인 $\text{MM}^{+++}$를 도입하며, 이는 정지 집합을 유지하는 (SSP) 완비 부울 대수의 범주에 대한 조합적 성질로 기술된다. $\text{MM}^{+++}$는 $P(\beth_1)$에 속하는 매개변수를 갖는 찬 모델 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 이론에 대한 일반적 절대성(_generic absoluteness_)을 보장함으로써, 이 구조에 대해 우드인의 일반적 절대성 결과를 최적의 방식으로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce a category whose objects are stationary set preserving complete boolean algebras and whose arrows are complete homomorphisms with a stationary set preserving quotient. We show that the cut of this category at a rank initial segment of the universe of height a super compact which is a limit of super compact cardinals is a stationary set preserving partial order which forces $MM^{++}$ and collapses its size to become the second uncountable cardinal. Next we argue that any of the known methods to produce a model of $MM^{++}$ collapsing a superhuge cardinal to become the second uncountable cardinal produces a model in which the cutoff of the category of stationary set preserving forcings at any rank initial segment of the universe of large enough height is forcing equivalent to a presaturated tower of normal filters. We let $MM^{+++}$ denote this statement and we prove that the theory of $L(Ord^{ω_1})$ with parameters in $P(ω_1)$ is generically invariant for stationary set preserving forcings that preserve $MM^{+++}$. Finally we argue that the work of Larson and Asperó shows that this is a next to optimal generalization to the Chang model $L(Ord^{ω_1})$ of Woodin's generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^ω)$. It remains open whether $MM^{+++}$ and $MM^{++}$ are equivalent axioms modulo large cardinals and whether $MM^{++}$ suffices to prove the same generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^{ω_1})$.

연구 동기 및 목표

• $\text{ZFC} +$ 대규모 기수의 조합적 이론을 갖는 자연스럽고 재귀적인 확장 $T$를 개발하여 찬 모델 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$의 완전한 이론을 도출하는 것.
• 특히 클래스 많은 초초월 기수를 가정할 때 $\text{MM}^{+++}$가 대규모 기수 공리에 대해 일관됨을 증명하는 것.
• $\text{MM}^{+++}$가 $P(\beth_1)$에 속하는 매개변수를 갖는 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 이론이 정지 집합을 유지하는 강제법에 대해 일반적으로 불변함을 보장하는 것.
• 강제법 공리가 집합론 및 관련 분야에서 결정 불가능 문제를 해결하는 데 성공한 이유를 사후적으로 설명하는 것.
• Woodin의 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$에 대한 일반적 절대성 결과를 더 강력한 구조인 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$로 확장하는 것.

제안 방법

• 정지 집합을 유지하는 완비 부울 대수와 정지 집합을 유지하는 몫을 갖는 완비 준동형사상의 범주 $(\text{SSP}, \text{SSP})$를 도입한다.
• $\text{MM}^{+++}$를 이 범주에 대한 조합적 성질로 정의하며, Martin의 최대성 원리와 Baire 범주 정리의 일반화로 간주한다.
• 클래스 많은 초초월 기수를 가정하여 $\text{U}^{\text{SSP}}$ 내에서 $\text{SSP}$-완전 강한 원소의 존재를 확보한다.
• SSP-강제법에 대한 동결 가능성( freezeability ) 성질을 적용하여 임bedding 하에서 강제 확장의 행동을 제어할 수 있도록 한다.
• 반복 강제법과 임bedding(예: 거의 초거대 임bedding)을 사용하여 $\text{MM}^{+++}$가 강제 확장 하에서의 행동을 분석한다.
• $\text{U}^{\text{SSP}}$의 집합 크기의 내림차순 수열, 반복, 복수 선택(lottery sum)에 대한 닫힘 성질을 적용하여 일반적 절대성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Martin의 최대성 원리의 강화판은 정지 집합을 유지하는 완비 부울 대수의 범주에 대한 조합적 성질로 기술될 수 있는가?
• RQ2 $\text{MM}^{+++}$는 특히 클래스 많은 초초월 기수를 가정할 때 일관된가?
• RQ3 $\text{MM}^{+++}$가 $P(\beth_1)$에 속하는 매개변수를 갖는 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 이론이 정지 집합을 유지하는 강제법에 대해 일반적으로 불변함을 보장하는가?
• RQ4 $\text{MM}^{+++}$는 일관성 강도 측면에서 $\text{MM}^{++}$와 어떻게 비교되는가? 그리고 이를 조합적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 SSP 범주에 대한 동결 가능성 성질 및 기타 구조적 특성은 다른 강제법 클래스로 확장되어 유사한 일반적 절대성 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 클래스 많은 초초월 기수를 가정할 경우, $\text{SSP}$-완전 강한 부분순서의 집합은 $\text{U}^{\text{SSP}}$에서 조밀하다.
• $\text{MM}^{+++}$는 클래스 많은 초초월 기수의 존재를 가정할 경우 일관된다.
• $<\text{inaccessible limit}$-초초월 기수의 순서형 초기 세그먼트 $\text{inaccessible limit}$에서의 잘라내기 $\text{U}^{\text{SSP}}_{\text{inaccessible limit}}$는 $V_{\text{inaccessible limit}}$ 내의 모든 $\text{SSP}$-강제법을 흡수하는 $\text{SSP}$-완전 강한 원소이다.
• $\text{MM}^{+++}$와 정지 집합을 유지하는 강제법 하에서 $P(\beth_1)$에 속하는 매개변수를 갖는 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 이론에 대한 일반적 절대성이 성립한다.
• 이 결과들은 Woodin의 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$에 대한 일반적 절대성 결과를 더 강력한 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$로 확장한 거의 최적의 결과이다.
• $\text{MM}^{+++}$의 일반적 불변성과 최대성 성질은 강제법 공리가 결정 불가능 문제를 해결하는 데 성공한 이유를 사후적으로 설명한다.