[논문 리뷰] Cech cocycles for differential characteristic classes -- An infinity-Lie theoretic construction

Domenico Fiorenza, Urs Schreiber외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 Čech 코호몰로지 족을 통해 ∞-군의 미분 특성류를 ∞-리 이론적으로 구성하며, 미분 코hom올로지에서의 2차 특성류를 코호몰로지 집합에서 코호몰로지 공간으로 일반화한다. 미분 특성 사상은 연결된 주 ∞-bundle의 ∞-군의 그룹로이드에서 연결된 고차 U(1)-gerbe의 ∞-군의 그룹로이드로의 사상으로 수립되며, 이 사상의 호모토피 섬유는 스트링과 파이브브레인의 외부로 인한 미분 구조를 묘사한다.

ABSTRACT

What are called secondary characteristic classes in Chern-Weil theory are a refinement of ordinary characteristic classes of principal bundles from cohomology to differential cohomology. We consider the problem of refining the construction of secondary characteristic classes from cohomology sets to cocycle spaces; and from Lie groups to higher connected covers of Lie groups by smooth infinity-groups, i.e., by smooth groupal A-infinity-spaces. Namely, we realize differential characteristic classes as morphisms from infinity-groupoids of smooth principal infinity-bundles with connections to infinity-groupoids of higher U(1)-gerbes with connections. This allows us to study the homotopy fibers of the differential characteristic maps thus obtained and to show how these describe differential obstruction problems. This applies in particular to the higher twisted differential spin structures called twisted differential string structures and twisted differential fivebrane structures.

연구 동기 및 목표

• 크로니-바일 이론에서 2차 특성류를 코호몰로지 집합에서 코호몰로지 공간으로 일반화하기.
• 리 군에서 고차 연결 덮개로의 구성 확장에 있어 스무스 ∞-군(스무스 군적 A∞-공간)을 이용한 방법.
• 주 ∞-bundle와 연결을 갖춘 ∞-군의 그룹로이드에서 고차 U(1)-gerbe와 연결을 갖춘 ∞-군의 그룹로이드로의 사상으로서의 미분 특성류를 실현하기.
• 이러한 미분 특성 사상의 호모토피 섬유를 외부로 인한 미분 장애 문제로 연구하기.
• 이론적 프레임워크를 이종 및 자기 이중성 이론에서의 이종 스트링 및 파이브브레인의 외부로 인한 미분 구조에 적용하기.

제안 방법

• L∞-대수의 ∞-리 적분을 통해 스무스 ∞-군을 정의함으로써, 스무스 주 ∞-bundle와 연결을 갖춘 구성 가능성을 확보한다.
• ∞-리 적분을 통한 ∞-차우-웨일 호모모르피즘을 이용해 ∞-bundle와 연결을 갖춘 사상이 미분 코호몰로지 클래스로 매핑됨을 이용한다.
• L∞-대수의 코호몰로지 족을 올려 ∞-군의 그룹로이드 간의 사상으로서의 미분 특성 사상을 구성한다.
• Čech-de Rham 복합체를 활용하여 국소 및 전역적으로 곡률 특성류를 표현한다.
• 미분 특성 사상의 호모토피 섬유를 외부로 인한 미분 구조의 모듈리 공간으로 특성화한다.
• 리 2-대수에서의 표준 3- 및 7-코호몰로지 족을 적용하여 이론적 구조로 외부로 인한 스트링 및 파이브브레인의 미분 구조를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크로니-바일 이론에서 2차 특성류를 코호몰로지에서 코호몰로지 공간으로 일반화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 리 군의 고차 연결 덮개에 대한 ∞-리 이론적 구성은 무엇인가?
• RQ3 미분 특성 사상의 호모토피 섬유는 어떻게 외부로 인한 미분 구조를 포함하는가?
• RQ4 ∞-차우-웨일 호모모르피즘은 곡률 특성류를 미분 코호몰로지로 올리는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 결과로 유도된 구조는 이종 및 자기 이중성 이론에서의 이상성 제거 메커니즘과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• G-주 ∞-bundle와 연결을 갖춘 미분 특성류는 이러한 ∞-bundle의 ∞-군의 그룹로이드에서 고차 U(1)-gerbe와 연결을 갖춘 ∞-군의 그룹로이드로의 사상으로 실현된다.
• 단순 연결된 단순 리 군 G의 리 대수에서의 표준 3-코호몰로지 족에 대해, 이 구성은 첫 번째 분수형 폰트리아긴 클래스를 코호몰로지 수준의 사상으로 일반화한다.
• 이 사상의 호모토피 섬유는 스무스 스트링(G)-주 2-_bundle와 2-연결을 갖춘 2-군의 그룹로이드이며, 이는 스트링 구조의 미분 일반화를 제공한다.
• 비자명한 클래스에 대한 호모토피 섬유는 외부로 인한 미분 스트링 구조의 2-군의 그룹로이드이며, 이는 이종 스트링 이론에서 그린-샤우즈 이상성 제거를 지배한다.
• 스트링-2-군에서의 7-코호몰로지 족에 대해 이 구성 적용은 스트링-주 2-bundle에 대한 2차 특성 사상을 얻으며, 이는 두 번째 분수형 폰트리아긴 클래스를 일반화한다.
• 이 사상의 호모토피 섬유는 파이브브레인 6-군 위에서의 주 6-_bundle와 6-연결을 갖춘 6-군의 그룹로이드이며, 비자명한 섬유는 자기 이중성 이론에서의 외부로 인한 미분 파이브브레인 구조를 나타낸다.