[논문 리뷰] Central and non-central limit theorems for weighted power variations of fractional Brownian motion

Ivan Nourdin, David Nualart외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 분수 Browian 운동의 가중치가 부여된 제곱 변동에 대해 $ q \geq 2 $ 차수의 중심 및 비중앙 극한정리들을 수립하며, 이들의 점근적 행동이 히어스트 매개수 $ H $ 에 의해 결정됨을 보여준다. $ \frac{1}{2q} < H \leq 1 - \frac{1}{2q} $ 인 경우, 극한은 조건부 정규분포이다. $ H < \frac{1}{2q} $ 인 경우, 수렴은 분수 Browian 운동에만 의존하는 비정규분포 극한으로 향한다. $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 인 경우, 수렴은 차수 $ q $ 의 헤르mite 과정에 대한 스트로스틱 적분으로 향한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove some central and non-central limit theorems for renormalized weighted power variations of order q&gt;=2 of the fractional Brownian motion with Hurst parameter H in (0,1), where q is an integer. The central limit holds for 1/(2q) 1-1/(2q), we show the convergence in L^2 to a stochastic integral with respect to the Hermite process of order q.

연구 동기 및 목표

• 정수 $ q \geq 2 $ 에 대해 분수 Browian 운동의 가중치가 부여된 제곱 변동의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 함수 $ f $ 가 미분 가능할 때, $ n \to \infty $ 일 때 $ \sum_{k=1}^{2^n} f(B_{(k-1)2^{-n}})(\Delta B_{k2^{-n}})^q $ 의 재정규화된 가중치가 부여된 제곱 변동의 극한 분포를 규명하는 것.
• 히어스트 매개수 $ H \in (0,1) $ 의 값에 따라 극한 행동을 분류함으로써 중심 및 비중앙 극한 영역을 구분하는 것.
• $ H < \frac{1}{2q} $ 또는 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 인 경우 $ L^2 $ 수렴을 통해 비정규분포 극한을 확립하고, 이 극한 과정을 특정하는 것.
• 마르코프가 아닌, 장기적 의존성을 가진 설정에서 고전적인 제곱 변동에 대한 중심극한정리들을 고차수 제곱 변동으로 확장하는 것.

제안 방법

• 증분 $ \Delta B_{k2^{-n}} $ 의 고차수 모멘트를 분해하기 위해 헤르mite 다항식 전개를 사용하여 가중합의 점근적 행동 분석을 가능하게 한다.
• 다중 스트로스틱 적분 이론과 웨이너 카오스 전개를 적용하여 제곱 변동을 정규직교 성분으로 분해한다.
• $ f \in \mathscr{C}^{2q} $ 이고 도함수의 다항식 성장 조건을 만족하는 조건 $ (\mathbf{H}_q) $ 를 도입하여 $ L^2 $ 수렴을 보장한다.
• 혼합 성분 $ V_n^{(p)}(f) $ 의 $ L^2 $ 노름 분석을 통해, $ H $ 와 $ p $ 에 따라 영향을 받는 지수 $ 2 - 2(1-H)p $ 에 따라 감쇠 또는 수렴 여부를 규명한다.
• 함수 $ f(B_1) $ 의 5차까지 테일러 전개를 사용하고, $ H > 1/6 $ 일 때 나머지 항이 확률적으로 소멸함을 이용하여 함수 변동과 제곱 변동 간의 관계를 규명한다.
• 혼합 성분의 수렴을 통해 극한 분포를 규명: $ H \in (\frac{1}{2q}, 1 - \frac{1}{2q}) $ 에서는 정규분포, $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 에서는 헤르mite 과정, $ H < \frac{1}{2q} $ 에서는 비정규분포 극한.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ q \geq 2 $ 인 분수 Browian 운동의 가중치가 부여된 $ q $ 차 제곱 변동의 극한 분포는 무엇인가? $ H \in (0,1) $ 일 때.
• RQ2 극한은 히어스트 매개수 $ H $ 에 따라 어떻게 달라지며, 특히 임계값 $ \frac{1}{2q} $ 와 $ 1 - \frac{1}{2q} $ 와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 $ H < \frac{1}{2q} $ 일 때 비정규분포 극한으로의 수렴은 어떻게 특징지을 수 있으며, 이 극한의 성격은 무엇인가?
• RQ4 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 일 때는 어떠한가? 이 경우 극한은 헤르mite 과정에 대한 스트로스틱 적분과 대응하는가?
• RQ5 $ L^2 $ 노름의 혼합 성분이 감쇠하는 조건은 무엇이며, 이는 제곱 변동의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $ \frac{1}{2q} < H \leq 1 - \frac{1}{2q} $ 인 경우, 재정규화된 가중치가 부여된 제곱 변동은 조건부 정규분포로 법적으로 수렴한다.
• $ H < \frac{1}{2q} $ 인 경우, 가중치가 부여된 제곱 변동은 $ L^2 $ 수렴을 통해 분수 Browian 운동에만 의존하는 극한으로 수렴한다.
• $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 인 경우, 재정규화된 합은 $ L^2 $ 수렴을 통해 차수 $ q $ 의 헤르mite 과정에 대한 스트로스틱 적분으로 수렴하므로 비중앙 극한정리가 성립한다.
• 고차수 모멘트를 헤르mite 다항식으로 분해하고 혼합 성분을 분석함으로써 헤르mite 과정 극한으로의 수렴을 확립한다.
• $ L^2 $ 노름의 혼합 성분 $ V_n^{(p)}(f) $ 는 $ O(2^{n(2-2(1-H)p)}) $ 의 속도로 감쇠하며, 이는 $ H $ 와 $ p $ 에 따라 수렴 행동이 결정됨을 나타낸다.
• $ H > \frac{1}{6} $ 일 때, $ f(B_1) $ 의 테일러 전개에서 나머지 항은 확률적으로 소멸하므로, 증명에서 사용된 점근 전개의 타당성이 보장된다.