[论文解读] Centrosymmetric, Skew Centrosymmetric and Centrosymmetric Cauchy Tensors

Haibin ChenZhen Chen, Chen, Zhen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了中心对称、斜中心对称以及中心对称柯西张量——具有与中心对称矩阵类似对称性质的结构化张量。本文证明了任一張量均可分解為中心對稱與斜中心對稱分量之和，推導了H-特徵值與H-特徵向量的譜性質，並證明柯西張量為中心對稱當且僅當其生成向量對稱，且H-特徵向量的對稱模式取決於張量的階數與維度。

ABSTRACT

Recently, Zhao and Yang introduced centrosymmetric tensors. In this paper, we further introduce skew centrosymmetric tensors and centrosymmetric Cauchy tensors, and discuss properties of these three classes of structured tensors. Some sufficient and necessary conditions for a tensor to be centrosymmetric or skew centrosymmetric are given. We show that, a general tensor can always be expressed as the sum of a centrosymmetric tensor and a skew centrosymmetric tensor. Some sufficient and necessary conditions for a Cauchy tensor to be centrosymmetric or skew centrosymmetric are also given. Spectral properties on H-eigenvalues and H-eigenvectors of centrosymmetric, skew centrosymmetric and centrosymmetric Cauchy tensors are discussed. Some further questions on these tensors are raised.

研究动机与目标

• 將中心對稱矩陣的概念推廣至高階張量，引入中心對稱與斜中心對稱張量。
• 研究這些結構化張量的譜性質——特別是H-特徵值與H-特徵向量。
• 定義並分析中心對稱柯西張量，建立其中心對稱性的必要與充分條件。
• 探討一般張量分解為中心對稱與斜中心對稱分量的方法。
• 識別關於正定性與斜中心對稱柯西張量特徵向量結構的開放問題。

提出的方法

• 通過索引反轉對稱性定義中心對稱與斜中心對稱張量：$ a_{i_1\cdots i_m} = a_{n-i_1+1\cdots n-i_m+1} $ 與 $ a_{i_1\cdots i_m} = -a_{n-i_1+1\cdots n-i_m+1} $ 分別。
• 證明兩個中心對稱張量的乘積恆為中心對稱張量，並建立張量為中心對稱或斜中心對稱的必要與充分條件。
• 證明任一實張量可唯一分解為中心對稱張量與斜中心對稱張量之和。
• 分析中心對稱與斜中心對稱張量的H-特徵向量，顯示中心對稱張量的H-特徵向量依張量階數具有對稱性或其絕對值具有對稱性。
• 透過生成向量 $ c $ 引入中心對稱柯西張量，並證明 $ \mathcal{C} $ 為中心對稱當且僅當 $ c $ 對稱。
• 利用張量積與H-特徵值定義，推導H-特徵向量的對稱性質，特別是在索引反轉與階數奇偶性下的性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，一般張量可分解為中心對稱與斜中心對稱分量？
• RQ2 中心對稱與斜中心對稱張量的H-特徵值與H-特徵向量具有何種譜性質？
• RQ3 柯西張量在何種情況下為中心對稱？其H-特徵向量結構具有何種對稱性？
• RQ4 中心對稱張量的正定性是否可類比於矩陣情形加以特徵化？
• RQ5 斜中心對稱柯西張量的H-特徵向量具有何種結構與譜性質？

主要发现

• 任一階數為 $ m $、維度為 $ n $ 的實張量可唯一表示為中心對稱張量與斜中心對稱張量之和。
• 兩個中心對稱張量的乘積恆為中心對稱張量。
• 柯西張量為中心對稱當且僅當其生成向量 $ c $ 對稱，即對所有 $ i \in [n] $ 有 $ c_i = c_{n-i+1} $。
• 對於偶數階 $ m $ 的中心對稱柯西張量，任一對應非零H-特徵值的H-特徵向量均為對稱。
• 對於奇數階 $ m $ 的中心對稱柯西張量，任一對應非零H-特徵值的H-特徵向量的絕對值均為對稱。
• 不存在奇數維度的斜中心對稱柯西張量，因為此類張量將導致 $ \frac{1}{mc_i} = 0 $，產生矛盾。