[논문 리뷰] Ces\`aro bounded operators in Banach spaces

Teresa Bermúdez, A. Bonilla외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 12.

Holomorphic and Operator Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간과 힐버트 공간에서 케실로 유계 연산자에 대해 연구하며, 절대 케실로 유계이자 균일하게 크라이스 유계인 연산자들에 대해 연산자 노름의 날카운 점근적 경계를 확립한다. 이러한 연산자들이 ||T^n|| = o(n) (또는 힐버트 공간에서는 o(n^{1/2}))임을 증명하며, 균일하게 크라이스 유계 연산자에 관한 질문을 해결하여 힐버트 공간에서 lim ||T^n / n|| = 0임을 보이고, ℕ^p(N) 위에서 혼합적이고 평균 에르고딕인 연산자들을 구성한다. 또한 m-등거리성에서 수치적 초기성의 특성을 규명하며, 엄밀한 m-등거리성의 가역 이동 연산자의 수반은 초기성이 있음을 보이고, 약한 에르고딕인 3-등거리성은 약한 수치적 초기성이 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We study several notions of boundedness for operators. It is known that any power bounded operator is absolutely Ces\`aro bounded and strong Kreiss bounded (in particular, uniformly Kreiss bounded). The converses do not hold in general. In this note, we give examples of topologically mixing absolutely Ces\`aro bounded operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1\le p < \infty$, which are not power bounded, and provide examples of uniformly Kreiss bounded operators which are not absolutely Ces\`aro bounded. These results complement very limited number of known examples (see \cite{Shi} and \cite{AS}). In \cite{AS} Aleman and Suciu ask if every uniformly Kreiss bounded operator $T$ on a Banach spaces satisfies that $\lim_n\| \frac{T^n}{n}\|=0$. We solve this question for Hilbert space operators and, moreover, we prove that, if $T$ is absolutely Ces\`aro bounded on a Banach (Hilbert) space, then $\| T^n\|=o(n)$ ($\| T^n\|=o(n^{\frac{1}{2}})$, respectively). As a consequence, every absolutely Ces\`aro bounded operator on a reflexive Banach space is mean ergodic, and there exist mixing mean ergodic operators on $\ell^p(\mathbb{N})$, $1< p <\infty$. Finally, we give new examples of weakly ergodic 3-isometries and study numerically hypercyclic $m$-isometries on finite or infinite dimensional Hilbert spaces. In particular, all weakly ergodic strict 3-isometries on a Hilbert space are weakly numerically hypercyclic. Adjoints of unilateral forward weighted shifts which are strict $m$-isometries on $\ell ^2(\mathbb{N})$ are shown to be hypercyclic.

연구 동기 및 목표

• 절대 케실로 유계이자 균일하게 크라이스 유계인 연산자들에 대해 ||T^n||의 날카운 점근적 성장률을 확립하기.
• 앨리먼과 수티우가 제기한 질문을 해결하기: 바나흐 공간에서 균일하게 크라이스 유계인 연산자 T가 lim ||T^n / n|| = 0을 만족하는가?
• 멱이 유계가 아니지만 위상적으로 혼합적이고 절대 케실로 유계인 ℕ^p(N) 위의 연산자 예를 구성하기.
• 특히 엄밀한 3-등거리성과 그 수반을 포함한 m-등거리성에서 수치적 초기성과 에르고딕성을 특성화하기.
• 유한차원 및 무한차원 힐버트 공간에서 동적 성질을 연구하는 새로운 약한 에르고딕 3-등거리성의 예를 제공하기.

제안 방법

• Cesàro 평균 Mn(T) = (1/(n+1)) ∑_{k=0}^n T^k 분석을 통해 케실로 유계성 및 관련 개념 정의 및 연구하기.
• 스펙트럼 이론과 조르당 표준형을 활용해 유한차원 불변 부분공간을 갖는 연산자들에 대해 ||T^n||의 점근적 행동 분석하기.
• 스펙트럼 매핑 정리와 가중 이동 연산자의 성질을 응용하여 원하는 동적 성질을 갖는 m-등거리성의 예를 구성하기.
• 1 < p < ∞일 때 ℕ^p(N) 위의 전진 가중 이동 연산자에 대해 수치적 초기성과 비-멱 유계성 간의 등가성을 활용하기.
• 유니타리 동치를 통해 ℕ^2(N)에서의 결과를 일반적인 무한차원 분리 가능 힐버트 공간으로 이행하기.
• ||T^k x||^2의 다항식 성장과 복소수에서의 조밀성 논증을 활용해 수치 궤도의 조밀성 부족을 증명하는 증명 기법 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 균일하게 크라이스 유계 연산자 T가 바나흐 공간에서 lim_{n → ∞} ||T^n / n|| = 0을 만족하는가?
• RQ2 멱이 유계가 아니지만 위상적으로 혼합적인 절대 케실로 유계 연산자가 ℕ^p(N) 위에 존재할 수 있는가?
• RQ3 힐버트 공간에서 모든 약한 에르고딕 엄밀한 3-등거리성은 약한 수치적 초기성을 갖는가?
• RQ4 ℕ^2(N)에서 엄밀한 m-등거리성인 전진 가중 이동 연산자의 수반이 초기성을 보이는가?
• RQ5 절대 케실로 유계이자 균일하게 크라이스 유계인 연산자들에 대해 ||T^n||의 정확한 점근적 성장은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 0 < ε < 1/p에 대해 ℕ^p(N) 위에 존재하는 절대 케실로 유계 혼합 연산자 T가 존재하여 ||T^n|| = (n+1)^{1/p - ε}를 만족한다.
• 반사적 바나흐 공간 위의 모든 절대 케실로 유계 연산자는 평균 에르고딕이다.
• 힐버트 공간 위의 모든 절대 케실로 유계 연산자는 ||T^n|| = o(n^{1/2})를 만족한다.
• 힐버트 공간 위의 모든 균일하게 크라이스 유계 연산자는 ||T^n|| = o(n)를 만족하며, 특히 lim ||T^n / n|| = 0이다.
• ℕ^2(N) 위에서 엄밀한 m-등거리성 전진 가중 이동 연산자의 수반은 m ≥ 2일 때 초기성이 있다.
• 힐버트 공간 위의 모든 약한 에르고딕 엄밀한 3-등거리성은 약한 수치적 초기성을 갖는다.