[논문 리뷰] Chain Logic and Shelah's Infinitary Logic

Mirna Džamonja, Jouko Väänánen|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 03.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해 $\kappa = \beth_\kappa$ 를 만족하는 Karp의 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 가 Shelah의 논리 $L^1_\kappa$ 와 비교할 때, 보간성, 잘서수의 강력한 정의 불가능성, 최대성 등의 모델이론적 성질에서 동일한 표현력을 지닌다는 것을 증명한다. 이 논문은 체인 논리가 완전성 정리, 유니언 보조정리, 체인 독립적 조각의 특성화를 만족함을 증명하여, $L^1_\kappa$ 에 비해 문맥적으로 더 명확한 대체 수단을 제공하며, Shelah의 문제 1.4를 체인 모델에 대해 해결한다.

ABSTRACT

For a cardinal of the form $\kappa=\beth_\kappa$, Shelah's logic $L^1_\kappa$ has a characterisation as the maximal logic above $\bigcup_{\lambda<\kappa} L_{\lambda, \omega}$ satisfying Strong Undefinability of Well Order (SUDWO). SUDWO is a strengthening of the Undefinability of Well Order (UDWO). We prove that if $\kappa$ is singular of countable cofinality, Karp's chain logic \cite{Karpintroduceschain} is above $L^1_\kappa$, while it is already known that it satisfies UDWO and Interpolation. Moreover, we show that in these circumstances, the chain logic is -- in a sense -- maximal among logics with chain models to satisfy UDWO. We then show that the chain logic gives a partial solution to Problem 1.4. from Shelah's \cite{Sh797}, which asked whether for $\kappa$ singular of countable cofinality there was a logic strictly between $ L_{\kappa^+, \omega}$ and $L_{\kappa^+, \kappa^+}$ having Interpolation. We show that modulo accepting as the upper bound a model class of $L_{\kappa, \kappa}$, Karp's chain logic satisfies the required properties. In addition, we show that this chain logic is not $\kappa$-compact, a question that we have asked on various occasions. We contribue to the further development of chain logic by proving the Union Lemma and identifying the chain-independent fragment of the logic, showing that it still has considerable expressive power. In conclusion, we have shown that the simply defined chain logic emulates the logic $L^1_\kappa$ in satisfying Interpolation, undefinability of well-order and maximality with respect to it, and the Union Lemma. In addition it has a Completeness Theorem.

연구 동기 및 목표

• 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 의 맥락에서 Karp의 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 와 Shelah의 논리 $L^1_\kappa$ 를 비교한다.
• 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해, $L_{\kappa^+,\omega}$ 와 $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ 사이에 존재하는 논리 중 보간성을 만족하는 논리를 찾는 문제인 Shelah의 문제 1.4를 다룬다.
• 체인 논리가 $L^1_\kappa$ 에 비해 알려진 문법이 없는 점을 감안할 때, 문법적으로 투명한 대체 수단이 될 수 있음을 보여준다.
• 체인 독립적 조각의 특성화를 하고, 클리크나 긴 분지의 생략과 같은 고전적 성질에 대한 표현력을 보여준다.
• 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 가 $\kappa$-콤팩트가 아니라는 것을 증명하여 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

제안 방법

• 클래식한 모델을 대체하기 위해 체인 모델과 체인 동형사상을 기본 의미론으로 정의한다.
• 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해 $\kappa = \beth_\kappa$ 를 만족할 경우, $L^c_{\kappa,\kappa}$ 가 잘서수의 강력한 정의 불가능성(SUDWO)과 보간성을 만족함을 증명한다.
• 체인 모델에 대해 유니언 보조정리를 도입하여, 체인의 모든 모델에서 문장이 참이면 그 합집합에서도 참이 됨을 보여준다.
• 모델의 서로 다른 적절한 체인 분해에 대해 진리가 일관된 문장들의 집합으로서 $L_{\kappa,\kappa}$ 의 체인 독립적 조각을 특성화한다.
• 체인 독립적 조각을 이용하여, $\lambda < \kappa$ 이고 $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$ 인 경우에 크기가 $\lambda$ 인 클리프의 생략과 같은 고전적 모델이론적 성질을 표현할 수 있음을 보여준다.
• 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 와 $L^1_\kappa$ 를 비교하여, 앞의 논리가 뒤의 논리와 핵심 성질에서 일치함과 동시에 표준 문법을 유지함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해 $\kappa = \beth_\kappa$ 를 만족할 경우, Karp의 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 는 보간성과 잘서수의 강력한 정의 불가능성을 만족하는가?
• RQ2 체인 논리는 Shelah의 문제 1.4에 대한 해결책이 될 수 있는가? 즉, $L_{\kappa^+,\omega}$ 와 $L_{\kappa^+,\kappa^+}$ 사이에 존재하고, 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해 보간성을 만족하는 논리인가?
• RQ3 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해, SUDWO를 만족하는 체인 모델을 갖는 논리들 중에서 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 는 최대성 조건을 만족하는가?
• RQ4 체인 독립적 조각의 표현력은 무엇이며, 긴 클리프나 분지의 생략과 같은 고전적 성질을 표현할 수 있는가?
• RQ5 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 는 $\kappa$-콤팩트인가? 그리고 이 논리가 $L^1_\kappa$ 와 비교할 때 이에 대해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 기수의 순서형이 가산인 특수 기수 $\kappa$ 에 대해 $\kappa = \beth_\kappa$ 를 만족할 경우, 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 는 잘서수의 강력한 정의 불가능성과 보간성을 만족하며, Shelah의 $L^1_\kappa$ 와 핵심 성질을 공유한다.
• 체인 논리 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 는 SUDWO를 만족하는 체인 모델을 갖는 논리들 중에서 최대성 조건을 만족함을 보여주며, Lindström 정리 정신에 부합하는 자연스러운 특성화를 제공한다.
• 체인 독립적 조각은 모델의 서로 다른 적절한 체인 분해에 대해 진리가 일관된 문장들의 집합으로 특성화되며, $\lambda < \kappa$ 이고 $\operatorname{cf}(\lambda) > \aleph_0$ 인 경우 크기가 $\lambda$ 인 클리프의 생략과 같은 성질을 표현할 수 있다.
• 체인 모델에 대해 유니언 보조정리가 증명되었으며, 이는 체인의 모든 모델에서 문장이 참이면 그 합집합에서도 참이 되며, 이는 완전성과 전이 결과에 필수적이다.
• 논문은 $\kappa$-콤팩트성 문제를 해결하여 $L^c_{\kappa,\kappa}$ 가 $\kappa$-콤팩트가 아니라는 것을 증명하였다. 이는 오랫동안 미해결이었던 문제였다.
• 체인 논리는 $L^1_\kappa$ 와 핵심 모델이론적 성질을 공유하면서도 알려진 문법이 없는 점을 감안할 때, 문법적으로 투명한 대체 수단을 제공한다.