[논문 리뷰] Chaotic dynamics in a simple predator-prey model with discrete delay

Guihong Fan, Gail S. K. Wolkowicz|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 31.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전이 생물량의 시간 지연이 포함된 단순한 포식자-피식자 모델을 연구하여, 시간 지연이 어떻게 복잡한 역학을 유도하는지 탐구한다. 지연을 도입함으로써 시스템은 전역 안정성에서 허프 비분기, 주기 두重화 연쇄, 한계 순환의 안정-비안정 비분기 등을 통해 혼돈 진동으로 전이되며, 이는 지연이 기존에 안정된 시스템에서도 혼돈 행동을 유도할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A discrete delay is included to model the time between the capture of the prey and its conversion to viable biomass in the simplest classical Gause type predator-prey model that has equilibrium dynamics without delay. As the delay increases from zero, the coexistence equilibrium undergoes a supercritical Hopf bifurcation, two saddle-node bifurcations of limit cycles, and a cascade of period doublings, eventu1ally leading to chaos. The resulting periodic orbits and the strange attractor resemble their counterparts for the Mackey-Glass equation. Due to the global stability of the system without delay, these complicated dynamics can be solely attributed to the introduction of the delay. Since many models include predator-prey like interactions as submodels, this study emphasizes the importance of understanding the implications of overlooking delay in such models on the reliability of the model-based predictions, especially since the temperature is known to have an effect on the length of certain delays.

연구 동기 및 목표

• 지연이 없는 경우 전역 안정인 모델에서 포식자-피식자 상호작용의 이산 시간 지연이 비균형 복잡한 역학을 어떻게 유도하는지 조사하기.
• 지연의 포함만으로도 홀링 유형 I 기능 반응을 가지는 단순한 고세형 포식자-피식자 시스템에서 혼돈 행동이 발생할 수 있는지 확인하기.
• 혼돈에 이르는 분기 구조를 분석하고, 허프 비분기, 안정-비안정 비분기, 주기 두重화 비분기를 포함하여 맥케이-글라스 방정식과 비교하기.
• 환경 변화(예: 온도 변화가 처리 시간에 영향을 주는 경우)에 따라 시간 지연을 忽시할 경우의 영향을 부각하기.
• 최소한의 모델에서도 지연이 예측을 근본적으로 변화시켜 극단적 진동이나 멸종을 유도할 수 있으며, 이는 모델 신뢰성에 악영향을 미칠 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 피식자 포획과 포식자 생물량 전환 사이의 지연을 모델링하기 위해 이산 시간 지연 τ를 포함한 지연 미분 방정식 시스템을 수립한다.
• 지연이 없는 시스템이 전역적으로 점점 안정한 평형점을 가지도록 하기 위해 홀링 유형 I 기능 반응 f(x) = mx를 사용한다.
• 비분기 임계 지연 값에서 허프 비분기를 분석하기 위해 중심다양체 이론과 정규형 이론을 적용하여 주기적 해의 발생 시점을 규명한다.
• 수치적 연속성과 시뮬레이션을 활용하여 분기 분지의 경로를 추적하고, 한계 순환의 안정-비안정 비분기와 주기 두重화 연쇄를 밝혀낸다.
• 수치적 분석을 통해 혼돈 구조를 식별하고, 맥케이-글라스 구조와 비교한다.
• 균일 지속성 이론을 적용하여 내부 평형점이 불안정할 경우, 모든 τ > 0 에 대해 시스템이 균일 지속성을 유지함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 안정인 포식자-피식자 모델에 이산 시간 지연을 도입하면 장기적 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 지연된 포식자-피식자 시스템에서 혼돈 행동이 나타나는 데 이르는 분기 순서는 무엇인가?
• RQ3 지연의 영향으로 인해 시스템이 동시에 두 개의 안정된 주기적 궤도와 하나의 불안정 주기적 궤도를 가질 수 있는가?
• RQ4 환경적 요동(예: 처리 시간에 영향을 주는 온도 변화 등)이 지연을 변화시키는 경우 시스템의 행동는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이 모델에서의 혼돈 구조는 맥케이-글라스 구조와 얼마나 유사한가? 이는 이러한 역학의 보편성에 대해 어떤 시사점을 갖는가?

주요 결과

• 이산 시간 지연을 도입함으로써 전역 안정이었던 시스템이 복잡한 역학을 보이게 되었으며, 임계 지연 값에서 초점성 허프 비분기가 발생한다.
• 지연이 증가함에 따라 한계 순환의 안정-비안정 비분기가 두 번 발생하여, 두 개의 안정된 주기적 궤도와 하나의 불안정 주기적 궤도가 공존하게 된다.
• 주기 두重화 연쇄가 관측되며, 이는 최종적으로 혼돈 진동으로 이어지고, 지연이 더 증가함에 따라 다시 안정성으로 돌아가는 주기 반감기 경로를 보인다.
• 혼돈 구조는 맥케이-글라스 구조와 유사성이 높아, 지연에 의해 유도된 혼돈의 근본적인 역학 메커니즘이 공통적일 가능성이 있다.
• 허프 비분기점 근처 또는 안정-비안정 비분기점 근처(예: τ ≈ 80)에서는 시스템이 확률적 외란에 매우 민감하여 멸종 위험이 증가한다.
• 혼돈 영역에서의 최대 및 최소 포식자 개체수는 지연의 변화에 대해 놀랍도록 민감하지 않음을 보여주며, 극단적 역학에서의 강건성을 시사한다.