[论文解读] Characters of irreducible modules with non-critical highest weights over affine Lie algebras

Masaki Kashiwara, Toshiyuki Tanisaki|ArXiv.org|Mar 22, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 39

一句话总结

本文通过扩展有理数情形下的平移函子、Enright函子和Jantzen的形变论证，建立了仿射李代数上任意非临界最高权的不可约高权模的Kazhdan-Lusztig型特征公式。关键结果以Kazhdan-Lusztig多项式和Verma模特征的显式表达式给出了特征公式，适用于相对于整数根系位于正或负Weyl壁龛中的权.

ABSTRACT

We shall derive Kazhdan-Lusztig type character formula for the irreducible modules with arbitrary non-critical highest weights over affine Lie algebras from the rational case by using the translation functor, the Enright functor and Jantzen's deformation argument.

研究动机与目标

• 推导仿射李代数上任意非临界最高权的不可约高权模的特征公式。
• 将已知的有理数非临界最高权的特征公式推广至一般非临界情形。
• 通过表示论函子和形变技术建立统一的特征公式。
• 将Kazhdan-Lusztig方法从有限维情形推广至仿射李代数的非临界情形。

提出的方法

• 作者使用平移函子将任意非临界权与有理数权联系起来。
• 他们应用Enright函子来控制在Weyl群作用下高权模的结构。
• 采用Jantzen的形变论证，将一般情形约化至有理数情形。
• 通过逆Kazhdan-Lusztig多项式 $ Q^{ ho}_{y,w}(q) $ 和Weyl群 $ W( ho) $ 上的Bruhat序推导特征公式。
• 通过限制到抛物子代数 $ rak{p}_J $，将一般情形约化为有限维李代数的情形，当 $ b{Q} mid ho $ 时成立。
• 建立了同构 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) o L( ho) $，以实现从有限维到仿射情形的特征转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将仿射李代数上非临界最高权不可约模的特征公式，从有理数情形推广至一般非临界情形？
• RQ2 平移函子和Enright函子在联系不同高权模中起什么作用？
• RQ3 Jantzen的形变论证如何促进从一般权到有理数权的约化？
• RQ4 Kazhdan-Lusztig多项式在仿射情形下如何控制不可约模的特征？
• RQ5 在何种条件下，诱导模 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) $ 会给出不可约模 $ L( ho) $ ？

主要发现

• 当 $ w $ 是其陪集 $ wW_0( ho) $ 中的最长元素，且 $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ 时，不可约模 $ L(w ullet ho) $ 的特征由Weyl群 $ W( ho) $ 上的求和给出，权重为在 $ q=1 $ 处取值的逆Kazhdan-Lusztig多项式。
• 当 $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ 时，特征公式以 $ Q^{ ho}_{w,y}(1) $ 和Verma模特征表示，对 $ w $ 为 $ wW_0( ho) $ 中最长元素的情形成立。
• 当 $ ho otin b{C} imes b{Q} imes ext{Im} ho $ 时，特征公式对 $ w $ 为 $ wW_0( ho) $ 中最短元素的情形也成立，使用 $ P^{ ho}_{y,w}(1) $。
• 当 $ b{Q} mid ho $ 时，特征公式约化为已知的有限维情形，通过限制到抛物子代数 $ rak{p}_J $（$ J eq I $）实现。
• 同构 $ U(rak{g}) igotimes_{U(rak{p}_J)} L_J( ho) o L( ho) $ 成立，确保特征公式可从有限维情形传递到仿射李代数。
• 证明依赖于 $ L_J( ho) $ 的不可约性，以及在权空间中非平凡 $ rak{n}^+ $-不变量的消失，这防止了 $ L_J( ho) $ 中除最高权空间外存在非零 $ rak{n}^+ $-不变量向量。