[논문 리뷰] Chowla and Sarnak Conjectures for Kloosterman Sums

E. H. El Abdalaoui, Igor E. Shparlinski외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 01.

Analytic Number Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 클루스트르만 합에 대해 초우라 및 사르나크 추측의 유사체를 제시하고 증명하며, 수평적 및 수직적 측면에서 조건 없는 파wr-saving 경계를 확립한다. 트레이스 공식, 곱셈 함수, 웨일 차분법을 사용하여, 모비우스 함수의 경우에 알려진 것보다 더 강력한 결과를 도출한다. 이는 수평적 합에 대해 O(M^{1/2 + γ + o(1)}) 경계와 다항수형(phase)이 있는 수직적 합에 대해 O(N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1}) 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We formulate several analogues of the Chowla and Sarnak conjectures, which are widely known in the setting of the Möbius function, in the setting of Kloosterman sums. We then show that for Kloosterman sums, in some cases, these conjectures can be established unconditionally.

연구 동기 및 목표

• 모비우스 함수에 대해 처음으로 제안된 초우라 및 사르나크 추측을 클루스트르만 합의 맥락으로 확장하기.
• 모듈러스 m에 대해 합을 구할 때(수평적 측면)와 인자 n에 대해 합을 구할 때(수직적 측면) 클루스트르만 합의 무작위성 탐구하기.
• 산술 함수 또는 저복잡도의 수열에 의해 가중된 클루스트르만 합의 합에 대해 조건 없는 파wr-saving 경계 확립하기.
• 클루스트르만 합의 경우, 모비우스 함수의 경우보다 더 강력한 오차 항을 가진 채로 조건 없는 증명이 가능한 특정 추측들이 존재함을 보여주기.
• 클루스트르만 합의 맥락에서 곱셈수론, 지수합, 스펙트럼 이론 간의 상호작용 탐색하기.

제안 방법

• 정규화된 클루스트르만 합 Km(a) = (1/√m) Σ_{x∈Z_m^*} e_m(ax + x)에 대해 초우라 및 사르나크 추측의 유사체를 제안하기.
• 쿠즈네초프의 트레이스 공식과 스펙트럼 이론을 사용하여 유계 수열 ξ(m)에 대해 수평적 합 Σ_{m≤M} ξ(m)Km(a)를 경계하기.
• μ(d), ϕ(m), κ_k(m)와 같은 곱셈 함수를 적용하여 합을 산술 평균으로 변환하고 상쇄 효과를 활용하기.
• 웨일 차분법와 차수 d에 대한 귀납법을 사용하여 다항수형(phase)이 있는 수직적 합 Σ_{n≤N} ξ(n)Km(n + h_j)를 경계하기.
• 횔더 부등식과 열거 불가능한 구성의 조합론적 경계를 사용하여 다중 집합에 대한 지수합을 제어하기.
• 웨일 경계 |Km(a)| ≤ 2ω(m)와 정규화 K∗_m(a) = |Km(a)| / 2ω(m) ≤ 2^{3/2}를 활용하여 크기를 제어하고 평균화 기법을 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클루스트르만 합이 곱셈성을 갖지 않으며 값 분포가 조밀하므로, 이들의 맥락에서 초우라 및 사르나크 추측을 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 산술 가중치가 있는 경우, 모듈러스 m을 변화시킬 때 클루스트르만 합의 합에 대해 어떤 파wr-saving 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ3 고정된 m과 저복잡도 수열에 대해 수직적 합 Σ_{n≤N} Km(n + h_j)의 최적 상쇄 성질은 무엇인가?
• RQ4 유사한 맥락에서 모비우스 함수의 경우보다 클루스트르만 합에 대해 더 강력한 경계를 확보할 수 있는가?
• RQ5 다항수형(phase)의 차수는 클루스트르만 합의 수직적 합에서 상쇄 효과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수평적 합 Σ_{m≤M} Km(a)κ_k(m)는 O(M^{1/2 + γ + o(1)} + M^{1/2 + 1/(2k) + o(1)})로 경계되며, k ≥ 1일 때 파wr-saving이 성립함을 보여준다.
• 오일러 피 함수에 대해, Σ_{m≤M} Km(a)ϕ(m) ≪ M^{3/2 + γ + o(1)}이며, γ < 1/2 이므로 비잔영 경계보다 향상됨을 보여준다.
• 다항수형의 차수 d에 대해 수직적 합 Σ_{n≤N} ∏_{j=1}^s Km(n + h_j) e(g(n)) ≪ N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1} 이며, 정상성 조건 하에서 성립한다.
• 유계 수열 ξ_n = f(T^n x) (T는 측도를 보존하는 변환)에 대해, 합 Σ_{n≤N} Km(n)ξ_n는 임의의 ε > 0에 대해 O_ε(N)이며, H = o(N) 이고 p가 크면 성립한다.
• s중 H"오더 부등식을 사용한 합의 경계는 W ≪ t^{1/2s} (s/H)^{1/2} N 로 표현되며, H와 s를 최적화하면 O(N)이 된다.
• 결과는 조건 없이, 특히 다항수형이 있는 수직적 측면에서 모비우스 함수의 경우에 비해 더 우수한 경계를 제공한다.