[논문 리뷰] Chronological operator-valued Feynman-Kac formulae for generalized fractional evolutions

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 시간 반전 레비 서보디네이터 기반의 확률적 방법을 사용하여, 임의의 캡투 유형 도함수의 혼합에 의해 구동되는 분수형 진화 방정식의 해에 대해 일반화된 연속적 연산자 값 피프만-카크 공식을 수립한다. 주요 기여는 비가역적, 비가환 연산자 설정으로의 몰타그-레플러 함수 프레임워크 확장과 함께, 뒤로 연속적 지수와 서보디네이터 경로에 대한 기댓값을 통한 해의 새로운 적분 표현이다.

ABSTRACT

We study the generalized fractional linear problem $D^ν_{a+*} f(x) =A(x)f(x)+g(x)$, where $D^ν$ is an arbitrary mixture of Caputo derivatives of order at most one and $A(x)$ a family of operators in a Banach space generating strongly continuous semigroups. For time homogeneous case, when $A(x)$ does not depend on time $x$, the solution is expressed by the generalized operator-valued Mittag-Leffler function. For the more involved time-dependent case we use the method of non-commutative operator-valued Feynman-Kac formula in combination with the probabilistic interpretation of Caputo derivatives suggested recently by the author to find the general integral representation of the solutions, which are new even for the case of the standard Caputo derivative $D^β_{a+*}$. In the point of view adopted here we analyse the fractional equations not as some 'exotic evolutions', but rather as 'standard' stationary problems leading to the stationary non-commutative operator-valued Feynman-Kac representation.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하고 비가환 연산자 계수를 가진 일반화된 분수형 진화 방정식의 해에 대한 확률적 적분 표현을 개발하는 것.
• 시간 반전 레비 서보디네이터를 통해 정의된 일반화된 분수형 도함수의 설정에서 고전적 연산자 값 피프만-카크 공식을 확장하는 것.
• 비가환적, 연속적 지수 프레임워크 내에서 분수형 진화를 정적 문제로 통합적으로 다루는 것.
• 시간 동질적 경우에 대해 몰타그-레플러 함수를 연산자 값 설정으로 일반화하고, 확률 과정을 통해 시간 비동질적 경우로 확장하는 것.
• 바나흐 공간에서 일반화된 분수형 도함수를 포함하는 경계값 문제에 대한 엄밀한 해 프레임워크를 제공하며, 슈뢰딩거 및 펠러 유형 방정식에의 적용을 포함한다.

제안 방법

• 시간 반전 레비 서보디네이터를 통한 캡투 도함수의 확률적 해석을 사용하여, 서보디네이터 과정의 생성자로 일반화된 분수형 도함수 $ D^{(\nu)}_{a+*} $ 를 정의한다.
• 비가환 $ A(x) $ 에 대해 전파자 $ U^{t,s} $ 를 표현하기 위해 뒤로 연속적 지수 $ T\exp\left\{\int_t^s A_\tau d\tau\right\} $ 를 적용한다. 표준 행렬 지수를 대체한다.
• 해 $ D^{(\nu)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ 는 서보디네이터 과정의 첫 번째 통과 시간 $ \sigma_a $ 에 대한 기댓값으로 표현된다: $ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} e^{-\lambda s} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} g(Z_x(t)) dt $.
• 서보디네이터의 전이 밀도 $ G_{(\nu)}(t,dy) $ 를 통해 일반화된 연산자 값 몰타그-레플러 함수 $ E_{(\nu),z}(A) $ 를 정의한다. 이는 $ \int_0^\infty e^{tA} \frac{\partial}{\partial t} \left( \int_z^\infty G_{(\nu)}(t,dy) \right) dt $ 로 정의된다.
• 시간에 따라 변하는 $ A(x) $ 에 대한 해를 시간 변화 과정 $ Z_x(t) $ 를 사용하여 구성한다. 여기서 시간 변화는 레비 조건수 $ \nu $ 를 가진 서보디네이터에 의해 지배되며, 이 시간 변화 프레임워크에서 피프만-카크 공식을 적용한다.
• 수렴 분할의 극한에서 연속적 지수의 수렴성을 증명하고, 약화된 준군 가정 하에 존재성과 유일성을 확보하기 위해 근사 및 딱성 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 혼합 캡투 도함수를 가진 분수형 진화 방정식에 대해 연산자 값 피프만-카크 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 시간 반전 레비 서보디네이터를 통해 정의된 일반화된 분수형 도함수의 확률적 해석은 무엇인가?
• RQ3 생성자 $ A(x) $ 가 시간에 따라 변하고 비가환적일 경우 연속적 지수를 어떻게 사용하여 해를 표현할 수 있는가?
• RQ4 연산자 값, 시간 비동질적 경우에서 일반화된 몰타그-레플러 함수의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 어떤 조건에서 바나흐 공간에서 일반화된 분수형 초기값 문제의 해가 존재하고 유일하게 유지되는가?

주요 결과

• 일반화된 분수형 진화 방정식 $ D^{(\nu)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ 의 해는 수축 준군 가정 하에 $ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} (A(Z_x(s))Y + g(Z_x(s))) ds $ 로 표현되며, 여기서 $ Y = f_a $ 이다.
• 시간 동질적 $ A $ 에 대해 해는 서보디네이터의 전이 밀도를 통해 정의된 일반화된 연산자 값 몰타그-레플러 함수 $ E_{(\nu),x-a}(A)Y $ 를 통해 표현된다.
• 시간에 따라 변하는 $ A(x) $ 에 대해서도 이 일반화된 피프만-카크 공식은 시간이 레비 서보디네이터에 의해 서보디네이팅된 시간 변화 확률 과정 $ Z_x(t) $ 에 내장된 프레임워크를 통해 확장된다. 여기서 레비 조건수는 $ \nu $ 이다.
• 뒤로 연속적 지수 $ T\exp\left\{\int_s^t A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} $ 는 $ A $ 가 시간에 대해 불연속일지라도, 종료 조건 $ f_t $ 를 가진 뒤로 연속적 초기값 문제 $ \dot{f}_s = -A(Z_x(s))f_s $ 의 해를 제공한다.
• 해 공식은 $ A(x) $ 가 수축 준군을 생성하는 가정 하에, 유계 가측 함수 $ g: [a,\infty) \to B $ 에 대해 근사 또는 딱성 기법을 통해 일반화된 해를 제공한다.
• 특수 적용 사례로는 시간에 따라 변하는 해밀토니안을 가진 일반화된 분수형 슈뢰딩거 방정식과 펠러 과정이 있으며, 이 공식은 푸리에 변환과 전이 밀도를 통해 명시적 적분 표현을 제공한다.