[论文解读] Circular quiver gauge theories, isomonodromic deformations and $W_N$ fermions on the torus

Giulio Bonelli, Fabrizio Del Monte+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 100被引用 7

一句话总结

本文建立了在自对偶 $\Omega$-背景下的环形 quiver $N=2$ $d=4$ $SU(N)$ 规范理论与在带 puncture 的环面上的平坦 $SL(N)$ 连接的等单蒙德德变形之间的对应关系。通过将变形问题映射到环面上的 $W_N$ 自由费米子关联函数，作者证明了等单蒙德系统的 $\tau$-函数与规范理论的划分函数成正比，比例因子取决于去自治化 Seiberg-Witten 可积系统的解。

ABSTRACT

We study the relation between class S theories on punctured tori and isomonodromic deformations of flat SL(N) connections on the two dimensional torus with punctures. Turning on the self dual $\\Omega$-background corresponds to a deautonomization of the Seiberg-Witten integrable system which implies a specific time dependence in its Hamiltonians. We show that the corresponding $\ au$-function is proportional to the dual gauge theory partition function, the proportionality factor being a non trivial function of the solution of the deautonomized Seiberg-Witten integrable system. This is obtained by mapping the isomonodromic deformation problem to $W_N$ free fermion correlators on the torus.

研究动机与目标

• 建立在带 puncture 的环面上的 $\mathcal{S}$ 理论与平坦 $SL(N)$ 连接的等单蒙德变形之间的精确对应关系。
• 将已知的 $\mathcal{N}=2^*$ 规范理论与 Painlev\'e VI 之间的联系推广到更高秩的 $SU(N)$ 环形 quiver 理论。
• 证明等单蒙德系统的 $\tau$-函数等于规范理论划分函数，比例因子为依赖于去自治化可积系统的非平凡因子。
• 通过自由费米子关联函数与退化场算符，在环面上实现 $W_N$ 代数结构。
• 将 $W_N$ 费米子在连接规范理论划分函数与等单蒙德变形问题解之间的角色，从 $N=2$ 情况推广到更高秩情形。

提出的方法

• 通过顶点算子代数技术，将带 puncture 的环面上的等单蒙德变形问题映射到 $W_N$ 自由费米子关联函数。
• 利用 Hitchin 系统与 Seiberg-Witten 几何，将规范理论的序数分支描述为纤维化在环面上的超凯勒流形。
• 通过将时间变量划分为‘慢’与‘快’变量，对 Seiberg-Witten 可积系统进行去自治化，从而导出 Whitham 类动力学。
• 从 $W_N$ 生成元与一个 $U(1)$ 玻色子构造出 $N$-分量自由费米子，通过特定的 OPE 确保费米统计。
• 利用完全退化的场 $\phi_{s,\theta}$ 与 $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 及投影算符，限制融合通道并定义费米子场。
• 将等单蒙德系统的 $\tau$-函数导出为这些费米子算符的关联函数，其与规范理论划分函数在解依赖因子下一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带 puncture 的环面上的等单蒙德变形问题的 $\tau$-函数与在自对偶 $\Omega$-背景下的环形 quiver $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 规范理论的划分函数之间有何关系？
• RQ2 在环面上实现规范理论划分函数时，$W_N$ 自由费米子关联函数的精确作用是什么？
• RQ3 Seiberg-Witten 可积系统的去自治化在 $\tau$-函数及其与规范理论关系中如何体现？
• RQ4 能否利用环面上的 $W_N$ 代数结构系统构造更高秩规范群的等单蒙德变形问题的解？
• RQ5 在 $W_N$ 情况下，$\tau$-函数与规范理论划分函数之间的比例因子的函数形式是什么？

主要发现

• 等单蒙德变形问题的 $\tau$-函数与规范理论划分函数成正比，比例因子依赖于去自治化 Seiberg-Witten 可积系统的解。
• 该对应关系通过映射到环面上的 $W_N$ 自由费米子关联函数实现，将 $N=2$ 情况推广到更高秩的 $SU(N)$ 规范理论。
• 该构造利用完全退化的场 $\phi_{s,\theta}$ 与 $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 及投影算符，定义满足标准 OPE 的 $N$-分量费米子。
• 环面上的 $W_N$ 费米子实现使得 $\tau$-函数可表达为这些费米子场的关联函数，其与规范理论划分函数在非平凡因子下一致。
• 该方法通过 $W_N$ 代数结构将已知的 Painlev\'e 超几何函数与 $\mathcal{N}=2^*$ 理论之间的联系，推广到一般环形 quiver $SU(N)$ 理论。
• 在 $\tau$-函数与划分函数之间，比例因子并非常数，而是依赖于去自治化可积系统的模，反映了序数分支的非平凡几何结构。