[논문 리뷰] Clark-Ocone type formula for non-semimartingales with non-trivial quadratic variation

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 19.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유계 바나흐 공간 내의 비-세미마르팅게일 과정에 대해 정규화 기법을 사용하여 확률 미적분학 프레임워크를 개발하며, 이는 이토 공식과 유한한 이차 변동량이 브라운 운동과 동일한 과정에 대한 일반화된 클락-옥슨 표현을 가능하게 한다. 주요 기여는 무한차원 편미분방정식의 해를 통한 카오스 전개 기반 표현이다.

ABSTRACT

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space $B$ using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case $B= \R$ by the second author and P. Vallois. A special attention is devoted to the {\it window} process associated with a real finite quadratic variation process which takes naturally values in the Banach space $B= C([- au,0])$. An appropriated Ito formula is presented, from which we derive a generalized Clark-Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite dimensional PDE.

연구 동기 및 목표

• 정규화 방법을 사용하여 바나흐 공간 내 비-세미마르팅게일 과정으로의 확률 미적분학을 확장하기.
• 값이 분리 가능한 바나흐 공간 B에 속하는 과정에 대한 유한한 이차 변동량을 정의하고 분석하기.
• 경로에 의존하는 함수형을 위한 자연스러운 모델로 C([-τ,0])에서의 윈도우 과정을 연구하기.
• 비-세미마르팅게일 과정에 적용 가능한 이토 공식을 유도하기.
• 유한한 이차 변동량을 가진 이러한 과정에 대해 무한차원 편미분방정식의 해를 기반으로 한 클락-옥슨 유형의 표현을 수립하기.

제안 방법

• 정규화를 통한 확률 미적분학 프레임워크를 바나흐 공간 값 과정에 적용한다.
• 유한한 이차 변동량 과정과 관련된 C([-τ,0])-값 과정으로서의 윈도우 과정을 도입한다.
• 바나흐 공간 설정에서 비트리비얼한 이차 변동량을 가진 과정에 대해 새로운 이토 공식을 도출한다.
• 이토 공식을 적용하여 일반화된 클락-옥슨 표현 공식을 도출한다.
• 과정의 기능형의 카오스 전개를 표현하기 위해 무한차원 편미분방정식의 해를 사용한다.
• 이차 변동량의 구조를 편미분방정식의 해 공간과 연결함으로써 표현을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 바나흐 공간 B에 값이 있는 과정에 대해 유한한 이차 변동량을 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 비-세미마르팅게일 과정의 경로에 의존하는 함수형을 모델링하는 데 있어 C([-τ,0])에서의 윈도우 과정의 역할은 무엇인가?
• RQ3 바나흐 공간에서 비-세미마르팅게일 과정에 대해 비트리비얼한 이차 변동량을 가진 이토 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ4 이차 변동량이 브라운 운동과 동일하지만 세미마르팅게일이 아닌 과정으로 일반화된 클락-옥슨 공식은 어떻게 확장되는가?
• RQ5 이 맥락에서 기능형의 카오스 전개와 무한차원 편미분방정식의 해 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 정규화를 통한 확률 미적분학이 분리 가능한 바나흐 공간 B에 값이 있는 과정으로 성공적으로 확장되었다.
• 유한한 이차 변동량 과정과 관련된 윈도우 과정은 자연스럽게 C([-τ,0])에 값을 가지며, 경로에 의존하는 분석을 가능하게 한다.
• 바나흐 공간 설정에서 비-세미마르팅게일 과정에 대해 비트리비얼한 이차 변동량을 가진 이토 공식이 도출되었다.
• 이차 변동량이 브라운 운동과 동일하지만 세미마르팅게일이 아닌 과정에 대해 일반화된 클락-옥슨 공식이 수립되었다.
• 기능형의 표현은 무한차원 편미분방정식의 해를 통해 이루어져 카오스 전개 프레임워크를 제공한다.
• 이 프레임워크는 고전적 결과를 세미마르팅게일 이론을 초월하여 확률적 적분과 편미분방정식 해를 통한 기능형 표현을 가능하게 한다.