[논문 리뷰] Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$

Bence Csajbók, Giuseppe Marino외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 23.

Coding theory and cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 PG(1, q^n)에서 계수 n인 Fq-선형 집합의 동치성과 분류를 조사하며, 단순 및 비단순 선형 집합을 구분하기 위해 Z(ΓL)-클래스와 ΓL-클래스를 도입한다. 추적 함수로 정의된 선형 집합이 단순하다는 것을 증명하고, 심플렉틱 양성에 대한 대칭성에 의해 비단순 선형 집합을 구성함으로써, n ≥ 5인 경우에 대해 허위결합자형 이외의 집합이 존재함을 보여준다. ΓL-클래스는 MRD-코드의 동치류와 레데이 유형의 차단집합과 관련이 있다.

ABSTRACT

The equivalence problem of $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank n of $PG(1,q^n)$ is investigated, also in terms of the associated variety, projecting configurations, $\mathbb{F}_q$-linear blocking sets of R\'edei type and MRD-codes.

연구 동기 및 목표

• PG(1, q^n)에서 계수 n인 Fq-선형 집합을 PΓL-동치에 대해 분류하기.
• 두 Fq-부분공간이 차원 n을 가지며 동치 선형 집합을 정의하는 조건을 이해하기.
• 선형 집합이 단순한 경우, 즉 동치가 ΓL-오빗 동치를 의미하는 조건을 특성화하기.
• 선형 집합의 ΓL-클래스가 관련된 MRD-코드의 동치류와 레데이 유형의 차단집합과 어떻게 관련되는지 파악하기.
• n ≥ 5, n ≠ 6 인 경우 기존의 허위결합자형 이외의 비단순 선형 집합을 새로운 예로 구성하기.

제안 방법

• 선형 집합의 Z(ΓL)-클래스와 ΓL-클래스를 도입하여 동치 분류를 정교화한다.
• W 위의 비퇴도성 교환형 β에 의해 유도되는 대칭성에 기반한 수직 여부를 정의하며, Trqn/q ◦ β를 통해 수직 여부 U⊥를 정의한다.
• U와 U⊥가 서로 다른 ΓL(2, qn)-오빗에 속해 있다면, LU는 비단순이다.
• 선형 집합이 차단집합과 MRD-코드와 관련된 프로젝션 구성 이론과 부분기하학적 프로젝션 이론을 적용한다.
• 차단집합 또는 MRD-코드의 동치성이 ΓL-클래스의 불변량과 대응됨을 이용한다.
• 기존의 q-다항식과 방향 집합 이론을 활용하여 선형 집합의 계수 및 무게 분포를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PG(1, q^n)에서 계수 n인 두 Fq-선형 집합이 PΓL(2, qn)에 의해 동치일 조건은 무엇인가?
• RQ2 선형 집합의 동치가 정의하는 부분공간의 ΓL-오빗 동치를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 n ≥ 5, n ≠ 6 인 경우 기존의 허위결합자형 이외의 비단순 Fq-선형 집합이 존재하는가?
• RQ4 선형 집합의 ΓL-클래스는 생성하는 서로 동치가 아닌 MRD-코드 또는 레데이 유형의 차단집합의 수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 추적 함수 Trqn/q(x)로 정의된 선형 집합은 단순한가? 그 ΓL-클래스는 무엇인가?

주요 결과

• 추적 함수 Trqn/q(x)로 정의된 Fq-선형 집합은 단순하며, Z(ΓL)-클래스와 ΓL-클래스가 모두 1이다.
• n ≤ 4인 경우, PG(1, q^n)에서 계수 n인 모든 Fq-선형 집합은 단순하다.
• n ≥ 5인 경우, 허위결합자형 이외의 비단순 선형 집합이 존재하며, 심플렉틱 양성에 대한 대칭성에 의해 구성된다.
• 선형 집합 LU의 ΓL-클래스는 LU를 포함하는 서로 동치가 아닌 레데이 유형의 Fq-선형 차단집합의 수와 같다.
• LU의 ΓL-클래스는 사용되는 동치 정의에 따라 LU로부터 얻는 서로 동치가 아닌 MRD-코드의 수와 대응된다.
• 가족 LU4 = {⟨(x, δx^{qs} + x^{q^{n-s}})⟩Fqn : x ∈ F_q^n^*}는 LU1–LU3와 동치가 아닌 선형 집합을 포함하며, 새로운 MRD-코드 가족을 시사한다.