[논문 리뷰] Classical and weak solutions to local first-order mean field games through elliptic regularity

Sebastian Muñoz|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 밀도에 대한 엄격한 단조성 조건을 만족하는 국소적 1차 평균장게임 시스템에 대해 고전적 해와 약한 해의 존재성 및 유일성을 증명한다. Lions 유형의 변환을 통해 시스템을 경계 조건이 기울어진 비선형 타원형 편미분방정식으로 환원한다. 주요 기여는 달리하는 실행비용이 밀도가 0일 때 무한으로 발산하는 경우(엄격 타원형 케이스)에 부드러운 고전적 해를 증명하는 것이며, 실행비용이 아래로 유계인 경우(퇴화 타원형 케이스) 점탄성 근사법을 통해 약한 해를 구한다. 단조성 조건 하에서 해의 완전한 유일성 및 정규성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the regularity and well-posedness of the local, first-order forward-backward mean field games system, assuming a polynomially growing cost function and a Hamiltonian of quadratic growth. We consider systems and terminal data that are strictly monotone in the density and study two different regimes depending on whether there exists a lower bound for the running cost function. The work relies on a transformation due to P.-L. Lions, which gives rise to an elliptic partial differential equation with oblique boundary conditions, that is strictly elliptic when the coupling is unbounded from below. In this case, we prove that the solution is smooth. When the problem is degenerate elliptic, we obtain existence and uniqueness of weak solutions analogous to those obtained by P. Cardaliaguet and P.J. Graber for the case of a terminal condition that is independent of the density. The weak solutions are shown to arise as viscous limits of classical solutions to strictly elliptic problems.

연구 동기 및 목표

• 밀도에 대한 단조성 조건을 만족하는 국소적 1차 평균장게임 시스템의 잘 정의됨을 확립하기.
• 두 가지 상황에서 해의 정규성 분석: 실행비용 f(·,0) ≡ −∞ 인 경우(엄격 타원형), f가 아래로 유계인 경우(퇴화 타원형).
• Lions 변환 방법을 1차 MFG 시스템으로 확장하여, 이를 기울어진 도함수 문제로 변환하기.
• 엄격 타원형 문제의 고전적 해에 대한 점탄성 근사법을 통해 약한 해의 존재성 및 유일성 증명하기.
• 최종 및 실행비용의 엄격한 단조성 조건이 표준 변분 이론을 초월해 해의 정규성을 향상시킨다는 것을 보여주기.

제안 방법

• Lions의 변환을 사용하여 정방향-역방향 MFG 시스템을 기울어진 경계 조건을 가진 2계 비선형 타원형 편미분방정식으로 변환하기.
• 최대원리 및 Bernstein 방법을 통한 사전 평가를 적용하여 엄격 타원형 영역에서 해와 그 기울기의 유계성을 확보하기.
• 비선형 연속성 방법과 고전적 타원형 평가를 사용하여 고전적 해에 대한 C3,α 및 C2,α 정규성 확보하기.
• 점탄성 계수가 ǫ → 0일 때, 엄격 타원형 문제의 고전적 해의 거의곳군 극한으로서 약한 해를 구성하기.
• 에너지 평가를 통한 Lasry-Lions 단조성 절차를 활용하여 약한 해의 유일성 증명하기.
• 부드러운화 및 점탄성 해이론을 사용하여 극한에서 분포적 하향/상향 해 성질을 정당화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실행비용 f(·,0) ≡ −∞일 때, 1차 MFG 시스템이 고전적 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 f와 g가 밀도 변수에서 엄격하게 단조일 경우, 표준 케이스(gm ≡ 0)에 비해 해의 정규성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 퇴화 타원형 MFG 시스템의 약한 해는 엄격 타원형 문제의 고전적 해의 점탄성 근사로 얻어질 수 있는가?
• RQ4 타원성 퇴화(χ → 0)는 정규성 상실에 어떤 역할을 하는가? 그리고 저밀도 영역과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 약한 해는 유일한가? 그리고 퇴화 케이스에서 초기 및 최종 데이터를 거의곳군으로 유지하는가?

주요 결과

• f(·,0) ≡ −∞일 때, 조건 (M), (H), (F), (G), 및 (SE) 하에서 시스템은 (u, m) ∈ C3,α(QT) × C2,α(QT) 에서 고유한 고전적 해를 갖는다.
• f가 아래로 유계인 경우(DE 케이스), 약한 해는 (BV(QT) ∩ L∞(QT)) × (C([0,T], H−1(Td)) ∩ L∞(QT)) 에서 존재하며, ǫ → 0일 때 고전적 해의 거의곳군 극한이다.
• 약한 해는 유일하다: (u′, m′) 가 다른 약한 해이면, QT에서 거의곳군으로 m = m′ 이고, {m > 0}에서 거의곳군으로 u = u′ 이며, 초기 및 최종 데이터가 일치한다.
• DE 조건 하에서 최종 밀도 및 가치 함수는 데이터가 공간에 독립일 경우 전역 리프시츠 연속성을 갖는다.
• 점탄성 근사는 원래 MFG 시스템의 구조를 유지하며, 모든 사전 평가가 ǫ에 대해 일관되게 유지되어 컴팩턴스 및 수렴성을 보장한다.
• Lasry-Lions 단조성 절차, 에너지 평가 및 점탄성 이론의 조합은 약한 해 영역에서 유일성 및 안정성 증명에 핵심적이다.