[논문 리뷰] Classical field theory limit of many-body quantum Gibbs states in 2D and 3D

Mathieu Lewin, Phan Thành Nam외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 19.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 186인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 및 세 차원에서 다체 양자 깁스 상태의 고전적 장 이론 근사(limit)를 엄밀하게 유도하며, 그로써 그랜드 캐노니컬 양자 깁스 상태가 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 비선형, 위크-정규화된 깁스 측도로 수렴함을 보여준다. 수렴는 분할 함수와 감소 밀도 행렬에 대해 확립되며, 발산하는 반발력 상호작용을 다루기 위한 필요한 정규화를 제공하는 임계 화학적 잠재력이 필요하다.

ABSTRACT

We provide a rigorous derivation of nonlinear Gibbs measures in two and three space dimensions, starting from many-body quantum systems in thermal equilibrium. More precisely, we prove that the grand-canonical Gibbs state of a large bosonic quantum system converges to the Gibbs measure of a nonlinear Schr{\\"o}dinger-type classical field theory, in terms of partition functions and reduced density matrices. The Gibbs measure thus describes the behavior of the infinite Bose gas at criticality, that is, close to the phase transition to a Bose-Einstein condensate. The Gibbs measure is concentrated on singular distributions and has to be appropriately renormalized, while the quantum system is well defined without any renormalization. By tuning a single real parameter (the chemical potential), we obtain a counter-term for the diverging repulsive interactions which provides the desired Wick renormalization of the limit classical theory. The proof relies on a new estimate on the entropy relative to quasi-free states and a novel method to control quantum variances.

연구 동기 및 목표

• 두 차원 및 세 차원에서 다체 양자 깁스 상태의 고전적 장 이론 근사를 엄밀히 유도하는 것.
• 양자 분할 함수와 감소 밀도 행렬이 그 고전적 대응체로 수렴함을 확립하는 것.
• 화학적 잠재력이 고전적 근사에서 위크 정규화를 제공하는 반면, 보조 항으로서의 역할을 하는 것.
• 고전적 측도에서의 특이 분포 문제를 양자-고전 대응을 통해 해결하는 것.
• 임계 상태에서, 즉 보즈아인슈타인 응축 전이 근처에서 고전적 깁스 측도가 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 준자유 양자 상태에 대한 상대 엔트로피에 대한 새로운 추정을 바탕으로 한 증명.
• 첫 번째 모멘트와 교환자 추정을 이용해 양자 분산을 제어하기 위한 새로운 방법 개발.
• 자유 에너지를 아래와 위로 유 bounds하기 위해 변분 방법을 사용.
• 국소화 기법과 반고전적 분석을 활용해 무한차원 문제를 유한차원 추정으로 축소.
• 모멘트와 분산에 대한 수집된 추정을 통해 힐베르트-스미트 노름과 트레이스 노름에서 밀도 행렬의 수렴을 확립.
• 화학적 잠재력을 조절하여 발산을 상쇄함으로써 고전적 근사에서 위크 정규화를 효과적으로 구현.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 보스계 시스템의 그랜드 캐노니컬 양자 깁스 상태는 2D 및 3D에서 어떻게 고전적 비선형 깁스 측도로 수렴하는가?
• RQ2 화학적 잠재력은 고전적 근사에서 발산하는 상호작용을 정규화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 특이 분포를 가지며 정규화가 필요한 고전적 측도는, 그러한 발산이 없는 잘 정의된 양자 시스템으로부터 파생될 수 있는가?
• RQ4 열역학적 및 평균장 근사에서 감소 밀도 행렬의 수렴은 어떻게 확립되는가?
• RQ5 고전적 장 이론 근사에서 양자 자유 에너지와 고전적 작용 함수 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 양자 그랜드 캐노니컬 깁스 상태는 $ d ilde{ u}(u) = \frac{1}{Z} e^{-\frac{1}{2} \tilde{D}[u]} d\tilde{ν}_0(u) $ 형태의 고전적 비선형 깁스 측도로 수렴하며, 여기서 $ \tilde{D}[u] $는 정규화된 상호작용 에너지이다.
• 고전적 측도는 특이 분포에 집중되어 있으며, 위크 정규화가 필요하며, 이는 양자 시스템에서 화학적 잠재력을 조절함으로써 동적으로 생성된다.
• 화학적 잠재력은 상호작용 에너지의 발산을 상쇄하는 보조 항으로서 작용하여, 잘 정의된 고전적 이론으로의 수렴을 보장한다.
• 균일한 시스템과 트랩된(비균일한) 시스템 모두에서 수렴이 성립하며, 동일한 정규화 메커니즘이 적용된다.
• 일차 감소 밀도 행렬은 트레이스 노름에서 수렴하며, 모든 고차원 밀도 행렬은 힐베르트-스미트 노름에서 수렴한다.
• 양자 시스템의 자유 에너지는 평균장 근사에서 고전적 비선형 슈뢰딩거 방정식의 작용 함수로 수렴하며, 정확한 점근적 일치가 이루어진다.