[논문 리뷰] Classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations as hierarchy of isomonodromic deformations. Free fields approach

A. Levin, M. A. Olshanetsky|ArXiv.org|1997. 09. 29.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 10인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 자유장 이론에서의 해밀턴 축소를 통해, 표본점이 있는 리만 곡면 위의 평탄한 접속에 대한 게이지 대칭과 미분형식 대칭에 대한 축소를 거쳐, 클래식한 KZB 방정식의 극한을 등급이 있는 등형변형의 계열(HID)로 설정한다. 이는 등형변형의 일관성 조건으로서, HID를 정의하는 라그랑주 방정식과 선형 시스템을 도출하며, 기존의 슈레슬러 및 파페레베 6 방정식과 같은 알려진 시스템을 복원하고, 임계 수준 극한에서 히친 시스템과 연결된다.

ABSTRACT

We investigate the classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations, considered as a system of non-stationar Schröodinger equations on singular curves, where times are the moduli of curves. It has a form of reduced non-autonomous hamiltonian systems which include as particular examples the Schlesinger equations, Painlevé VI equation and their generalizations. In general case, they are defined as hierarchies of isomonodromic deformations (HID) with respect to changing the moduli of underling curves. HID are accompanying with the Whitham hierarchies. The phase space of HID is the space of flat connections of $G$ bundles with some additional data in the marked points. HID can be derived from some free field theory by the hamiltonian reduction under the action of the gauge symmetries and subsequent factorization with respect to diffeomorphisms of curve. This approach allows to define the Lax equations associated with HID and the linear system whose isomonodromic deformations are provided by HID. In addition, it leads to description of solutions of HID by the projection method. In some special limit HID convert into the Hitchin systems. In particular, for $\SL$ bundles over elliptic curves with a marked point we obtain in this limit the elliptic Calogero $N$-body system

연구 동기 및 목표

• 비임계 수준 이외의 히친 프로그램을 확장하기 위해, KZB 방정식의 클래식한 극한을 비자기적 해밀턴 시스템으로서 연구하는 것.
• 심플렉틱 축소와 곡선의 미분형식 분해를 통해 자유장 이론에서 등형변형의 계열(HID)을 도출하는 것.
• HID와 슈레슬러 방정식 및 파페레베 6 방정식과 같은 알려진 통합 가능 시스템 사이의 대응 관계를 라그랑주 표현과 선형 시스템을 통해 수립하는 것.
• 선형 연산을 통한 투영 방법을 적용하여 HID의 해를 기술함으로써, 고계수 곡선으로의 기존 해법 기술의 일반화를 이루는 것.
• 임계 수준 극한에서 HID가 히친 시스템으로 축소됨을 보이며, 표본점이 있는 타원 곡선 위의 SL(N,C) 번들의 경우, 타원 캘로지오 N체 시스템으로 나타남을 보여주는 것.

제안 방법

• 표본점이 있는 곡선의 매니폴드 공간 위에, 군 G의 평탄한 접속 (A, A̅) 과 표본점에서의 공대칭 오비트를 갖는 범주를 구성한다.
• 전체 공간 위에 비퇴화된 2형식 ω를 정의하여 해밀턴 기하학을 설정하며, 이는 섬유 위에서 비퇴화되어야 한다.
• 접속의 게이지 대칭에 대한 해밀턴 축소와 이후 곡선의 미분형식 대칭에 대한 분해를 통해 평탄한 접속의 매니폴드 공간을 도출한다.
• 시간에 따라 변하는 2차 히친 해밀토니안을 핵심으로 하여 HID를 유도하며, 시간은 M_{g,n}의 접속 공간의 벡터로 매개화된다.
• 단일 변형에 대해 단일 변형의 단일 변형을 유지하는 선형 보조 시스템을 구성함으로써, HID가 등형변형의 일관성 조건임을 보여준다.
• HID의 해를 선형 연산을 통해 기술하기 위해 투영 방법을 적용하며, 이는 유리 곡선 및 타원 곡선의 경우에 기존 기법을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 KZB 방정식의 클래식한 극한은 비임계 수준을 초월하여 어떻게 등형변형의 계열로 해석될 수 있는가?
• RQ2 자유장 이론과 해밀턴 축소는 HID의 위상공간과 동역학을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 유도된 HID 시스템은 슈레슬러 및 파페레베 6 방정식과 같은 기존의 통합 가능 시스템과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 HID는 임계 수준 극한에서 어떻게 히친 시스템으로 축소되며, 이는 타원 캘로지오 시스템에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 HID의 해는 선형 투영 방법을 체계적으로 기술할 수 있으며, 이는 고계수 곡선으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• KZB 방정식의 클래식한 극한은 비자기적 해밀턴 시스템인 HID를 유도하며, 여기서 시간은 M_{g,n}의 접속 공간의 좌표로 주어진다.
• HID는 자유장 이론의 해밀턴 축소를 통해 도출되며, 위상공간은 평탄한 G-_bundle 접속과 표본점에서의 공대칭 오비트로 구성된다.
• HID의 라그랑주 표현과 선형 시스템이 명시적으로 구성되었으며, 이는 방정식이 등형변형의 일관성 조건임을 확인한다.
• 종수 0의 경우, 이 구성은 슈레슬러 방정식을 재현하며, 종수 1에 표본점 하나와 SL(2,C)의 경우, 파페레베 6 방정식의 가족을 도출한다.
• 임계 수준 극한(κ=0)에서 HID는 히친 시스템으로 축소되며, 표본점 하나가 있는 타원 곡선 위의 SL(N,C) 번들의 경우, 타원 캘로지오 N체 시스템이 된다.
• HID의 해는 투영 방법을 통해 선형 절차로 기술되며, 이는 고계수 및 고랭크의 경우로의 해법 기술 일반화를 가능하게 한다.