[논문 리뷰] Classical $\mathcal{W}$-algebras for centralizers

Alexander Molev, E. Ragoucy|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 20.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 임의의 니플로턴 원소 e ∈ gl_N의 중심화자 a = g_e와 관련된 새로운 종류의 고전적 W-대수 W(a)를 도입한다. 이를 통해 마이우라 유형의 사상으로 파oisson 꼬리 대수로 구성하며, W(a)가 무한한 변수에 대한 다항식 대수임을 증명하고 명시적인 자유 생성자를 제공한다. 또한 W(a)와 아핀 꼬리 대수 V(a)의 임계 수준에서의 중심 사이에 동형사상이 존재함을 확립한다.

ABSTRACT

We introduce a new family of Poisson vertex algebras $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ analogous to the classical $\mathcal{W}$-algebras. The algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is associated with the centralizer $\mathfrak{a}$ of an arbitrary nilpotent element in $\mathfrak{gl}_N$. We show that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is an algebra of polynomials in infinitely many variables and produce its free generators in an explicit form. This implies that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is isomorphic to the center at the critical level of the affine vertex algebra associated with $\mathfrak{a}$.

연구 동기 및 목표

• . gl_N 내의 임의의 니플로턴 원소 e에 대해 중심화자 a = g_e와 관련된 새로운 고전적 W-대수 W(a)를 정의한다.
• . W(a)가 명시적인 자유 생성자를 갖는 무한한 변수에 대한 다항식 대수임을 보인다.
• . W(a)와 아핀 꼬리 대수 V(a)의 임계 수준에서의 중심 사이에 마이우라 유형의 동형사상을 확립한다.
• . 이전의 주요 니플로턴 원소에 대한 고전적 W-대수 결과를 타입 A의 임의의 니플로턴 원자리로 일반화한다.

제안 방법

• . 니플로턴 원소 e ∈ gl_N의 중심화자 a = g_e를 정의하고, 그 조르당 블록 크기 λ1 ≤ · · · ≤ λn을 고려한다.
• . a에 치환 대칭 이항형식 (·|·)을 부여하고, E(r)_ij[s]에 대한 미분다항식의 미분대수 V(a)를 구성한다.
• . Lie 대수의 구조를 확장하면서, 세스퀼라인어리티, 반대칭성, 라이프니츠 법칙을 만족하는 λ-괄호를 V(a)에 정의한다.
• . a = n⁻ ⊕ h ⊕ n⁺의 삼중 분해를 도입하고, p = n⁻ ⊕ h에 대해 V(a) → V(p)로의 준동형사상 ρ를 정의한다.
• . W(a) ⊂ V(p)를 n⁺에 속하는 모든 X에 대해 ρ{X_λ P} = 0 를 만족하는 원소 P의 집합으로 정의한다.
• . E(r)_ij(z)로 구성된 행렬의 열행렬식을 사용하여 W(a)의 명시적인 자유 생성자를 구성하고, 그것들이 대수적으로 독립 임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . gl_N 내의 임의의 니플로턴 원소의 중심화자에 대해 고전적 W-대수를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 . 결과로 얻어진 W-대수 W(a)는 아핀 꼬리 대수 V(a)의 임계 수준 중심과 동형인가?
• RQ3 . W(a)에 대해 미분다항식으로 표현된 명시적인 자유 생성자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 . W(a)에서 V(a)의 중심으로 가는 마이우라 유형의 사상이 잘 정의된 동형사상인가?
• RQ5 . W(a)의 생성자들은 임계 수준 꼬리 대수에서의 세갈-수가와라 벡터와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• . W(a)는 아핀 꼬리 대수 V(a)의 임계 수준 중심과 동형이므로, 고전적 W-대수와 표현론 사이에 직접적인 연결 고리가 존재함을 입증한다.
• . W(a)는 명시적인 자유 생성자가 있는 무한한 변수에 대한 다항식 대수이다. 이 생성자는 E(r)_ij(z)를 포함하는 행렬의 열행렬식으로 주어진다.
• . W(a)의 생성자 w(r)_k는 행렬의 열행렬식 계수로서 x + λiT + Eii(z)를 항으로 가지며, 대수적으로 독립적이다.
• . 마이우라 유형의 사상 φ(r)_k ↦ w(r)_k는 V(a)의 중심 z(ba)와 W(a) 사이의 미분대수 동형사상을 제공하며, T ↦ ∂이다.
• . U(t⁻¹a[t⁻¹])₀에서 U(t⁻¹h[t⁻¹])로의 사영 f 제약이 z(ba)에 대해 단사적이므로, 동형사상이 잘 정의됨을 보장한다.
• . 생성자들은 식 (3.1)을 만족하며, 이는 φ(r)_k가 중심에 속하는 데 필요한 차수의 범위를 지정한다.