[논문 리뷰] Clifford Algebras and Lorentz Group

В. В. Варламов|ArXiv.org|2001. 08. 26.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고유 순차 로렌츠 군의 유한차원 표현을 분류하기 위한 대수적 프레임워크로 클리포드 대수를 설정하며, 기본적인 대수적 자명변환을 통해 이산 대칭성(P, T, PT, C)을 통합한다. 몰입된 표현을 질서 없는 질량이 없는 장에 적합한 것으로 도입하여, 중성자장에 대한 와일-헤스텐스 방정식을 유도하고, 아티야- bott-shapiro 주기성과 드 브로이-조르던 및 게르-망-네아만 모델을 연결한다.

ABSTRACT

Finite-dimensional representations of the proper orthochronous Lorentz group are studied in terms of spinor representations of the Clifford algebras. The Clifford algebras are understood as an `algebraic covering' of a full system of the finite-dimensional representations of the Lorentz group. Space-time discrete symmetries P, T and PT, represented by fundamental automorphisms of the Clifford algebras, are defined on all the representation spaces. Real, complex, quaternionic and octonionic representations of the Lorentz group are considered. Physical fields of the different types are formulated within such representations. The Atiyah-Bott-Shapiro periodicity is defined on the Lorentz group. It is shown that modulo 2 and modulo 8 periodicities of the Clifford algebras allow to take a new look at the de Broglie-Jordan neutrino theory of light and the Gell-Mann-Ne'emann eightfold way in particle physics. On the representation spaces the charge conjugation C is represented by a pseudoautomorphism of the complex Clifford algebra. Quotient representations of the Lorentz group are introduced. It is shown that quotient representations are the most suitable for description of the massless physical fields. By way of example, neutrino field is described via the simplest quotient representation. Weyl-Hestenes equations for neutrino field are given.

연구 동기 및 목표

• 고차 스핀 장에 대한 표준적 처리에서 발생하는 모순을 고유 순차 로렌츠 군의 표현에 대한 통합된 대수적 프레임워크에 통합함으로써 이를 해결하기 위해.
• 공간-시간 이산 대칭성 P, T, PT 및 전하 켤림 C를 클리포드 대수의 기본 자동형으로 정의하여, 모든 표현 유형에서 일관성을 확보하기 위해.
• 질량이 없는 장, 특히 중성자에 대해 특히 적합한 몰입 표현을 자연스러운 형식으로 도입하고, 와일-헤스텐스 방정식을 통해 그 역학을 유도하기 위해.
• 로렌츠 군에 대해 아티야- bott-shapiro 주기성을 확립하고, 드 브로이-조르단 중성자 이론과 입자물리학의 팔팔한 길 모델 등 물리적 이론과 연결하기 위해.
• 복소 클리포드 대수의 의사자기형이 전하 켤림을 실현하며, 중성자장이 질량이 없는 디랙-헤스텐스 방정식과 동치인 두 개의 와일 방정식을 만족함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한차원 표현은 복소 클리포드 대수 Cℓ_n(C)의 스핀어 표현을 통해 구성되며, 대수가 군 표현의 '대수적 커버링'으로 기능한다.
• 이산 대칭성 P, T, PT는 클리포드 대수 Cℓ_{p,q}의 기본 자동형으로 정의되어, 외부에서 부여된 것이 아니라 대수적 구조에 내재되어 있음을 보장한다.
• 전하 켤림 C는 복소 클리포드 대수의 의사자기형으로 표현되며, 파인만-슈테켈베르그 해석에 따라 시간 반전과 입자-반입자 해석에 일관되게 부합한다.
• 몰입 표현은 로렌츠 군에 도입되며, 특히 질량이 없는 장에 매우 적합하다. 중성자장은 이러한 표현 중 가장 단순한 것으로 실현된다.
• 와일-헤스텐스 방정식은 질량이 없는 디랙-헤스텐스 방정식에서 체르랄 부분공간으로의 투영을 통해 체르랄 원소 γ₅ = γ₀γ₁γ₂γ₃를 사용하여 도출된다.
• 아티야- bott-shapiro 주기성은 클리포드 대수의 대수적 구조를 통해 로렌츠 군에 실현되며, 모듈로 2 및 모듈로 8 주기성이 물리적 모델과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로렌츠 군의 모든 유한차원 표현에 걸쳐 이산 대칭성 P, T, PT, C를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 몰입 표현은 질량이 없는 물리적 장, 특히 중성자에 대해 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 아티야- bott-shapiro 주기성이 로렌츠 군에 어떻게 나타나며, 입자물리학 모델에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 와일-헤스텐스 방정식이 클리포드 대수에 기반한 일관된 대수적 프레임워크에서 유도될 수 있는가?
• RQ5 클리포드 대수의 기본 자동형을 사용함으로써 표준 고차 스핀 장 이론에서 발생하는 모순은 어떻게 해결되는가?

주요 결과

• 질량이 없는 디랙-헤스텐스 방정식 ∂ϕγ₂γ₁ = 0은 중성자장을 묘사하며, 체르랄 프로젝터 P₊ 및 P₋를 통해 투영하면 두 개의 독립적인 와일-헤스텐스 방정식이 얻어진다.
• 스핀어 장 ϕ ∈ Cℓ_{3,0}⁺는 디랙-헤스텐스 방정식 ∂ϕγ₂γ₁ − (mc/ℏ)ϕγ₀ = 0를 만족하며, 질량이 없는 극한에서 중성자장 방정식이 유도된다.
• 장 ϕ는 파인만-슈테켈베르그 해석에 따라 C ∼ T 이므로 CP-대칭성을 갖는다. 체르랄 성분 ϕ⁺ 및 ϕ⁻ 각각은 네 개의 독립적인 복소성분만을 포함한다.
• 와일-헤스텐스 방정식은 스핀어 형태의 표준 와일 방정식과 동치이며, 이는 중성자장이 체르랄 기저에서 질량이 없는 디랙 방정식의 해임을 확인한다.
• 아티야- bott-shapiro 주기성의 모듈로 2 및 모듈로 8 주기성은 클리포드 대수의 구조를 통해 로렌츠 군에 실현되며, 입자물리학의 주기성에 깊이 있는 대수적 기초를 제공한다.
• 몰입 표현은 질량이 없는 장에 가장 적합한 형식으로 나타나며, 중성자장은 이러한 표현의 가장 단순한 예이다.