[논문 리뷰] Clique Minors in Cartesian Products of Graphs

David R. Wood|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 53인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유계 Hadwiger 수를 가진 카르테시안 곱 $G \square H$의 근본적인 구조적 특성화를 수립하며, 이러한 곱이 평면적, 실린더형 또는 토러스형 격자에 유계 폭의 바위를 가진다는 것을 보여준다. $H$가 충분히 많은 정점을 가지거나 $G$의 트리너비가 크다면 $G \square H$에서 Hadwiger의 추측이 성립한다는 것을 증명하고, 일반적인 곱에 대한 추측의 타당성을 $G \square K_2$의 경우로 축소시켜, 의사색채색과 연결된 독립 집합을 통해 Hadwiger 수와 트리너비를 연결한다.

ABSTRACT

A "clique minor" in a graph G can be thought of as a set of connected subgraphs in G that are pairwise disjoint and pairwise adjacent. The "Hadwiger number" h(G) is the maximum cardinality of a clique minor in G. This paper studies clique minors in the Cartesian product G*H. Our main result is a rough structural characterisation theorem for Cartesian products with bounded Hadwiger number. It implies that if the product of two sufficiently large graphs has bounded Hadwiger number then it is one of the following graphs: - a planar grid with a vortex of bounded width in the outerface, - a cylindrical grid with a vortex of bounded width in each of the two `big' faces, or - a toroidal grid. Motivation for studying the Hadwiger number of a graph includes Hadwiger's Conjecture, which states that the chromatic number chi(G) <= h(G). It is open whether Hadwiger's Conjecture holds for every Cartesian product. We prove that if |V(H)|-1 >= chi(G) >= chi(H) then Hadwiger's Conjecture holds for G*H. On the other hand, we prove that Hadwiger's Conjecture holds for all Cartesian products if and only if it holds for all G * K_2. We then show that h(G * K_2) is tied to the treewidth of G. We also develop connections with pseudoachromatic colourings and connected dominating sets that imply near-tight bounds on the Hadwiger number of grid graphs (Cartesian products of paths) and Hamming graphs (Cartesian products of cliques).

연구 동기 및 목표

• 카르테시안 곱 $G \square H$의 구조적 형태를 유계 Hadwiger 수를 가진 경우에 대해 특성화하는 것.
• 그래프의 카르테시안 곱에 대해 Hadwiger의 추측의 타당성을 조사하는 것.
• $G \square K_2$의 Hadwiger 수와 $G$의 트리너비 사이의 관계를 설정하는 것.
• 의사색채색과 독립 집합을 이용하여 격자 및 하미ング 그래프의 Hadwiger 수에 대해 날카운 점근적 상한을 유도하는 것.
• 모든 곱에 대한 Hadwiger의 추측의 일반 타당성을 $G \square K_2$의 특수 케이스로 축소하는 것.

제안 방법

• 트리너비, 순서, 그리고 새로운 매개변수인 '행고버(hangover)'에 기반하여, 유계 Hadwiger 수를 가진 카르테시안 곱을 분류하기 위해 근본적인 구조적 특성화 정리를 사용한다.
• Robertson과 Seymour의 일반 구조 정리에 기반하여, 그래프 미니어, 바위, 클리크 합을 활용한 기법을 적용한다.
• 격자 및 하미ング 그래프의 Hadwiger 수에 대한 근사적인 날카운 하한을 유도하기 위해 의사색채색과 연결된 독립 집합을 활용한다.
• Sabidussi의 정리를 활용하여, $H$가 완전 그래프일 경우 $G \square H$의 색채수를 $G$의 색채수와 연결한다.
• 최소 차수-그리디 알고리즘을 사용하여 색채수를 트리너비로 bound하고, 이를 $G \square K_2$의 Hadwiger 수와 연결한다.
• 초입체와 사전순서 곱에 관한 결과를 적용하여, 고차원 곱의 Hadwiger 수에 대한 bound를 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 $G$와 $H$에 대해 어떤 조건에서 카르테시안 곱 $G \square H$가 유계 Hadwiger 수를 가질 수 있는가?
• RQ2 모든 카르테시안 곱에 대해 Hadwiger의 추측이 성립하는가, 그리고 어떤 충분한 조건에서 성립하는가?
• RQ3 $G \square K_2$의 Hadwiger 수는 $G$의 트리너비와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 격자 그래프 및 하미ング 그래프의 Hadwiger 수에 대해 근사적인 날카운 점근적 상한을 설정할 수 있는가?
• RQ5 모든 비자명한 곱에 대해 Hadwiger의 추측의 타당성은 $G \square K_2$의 경우로 축소 가능한가?

주요 결과

• $G \square H$의 Hadwiger 수가 유계이면, $G$ 또는 $H$ 중 하나가 유계 트리너비를 가지며 다른 하나가 유계 순서를 가지거나, 둘 다 유계 행고버를 가지는 것과 동치이다.
• 만약 $G$와 $H$가 충분히 크고 $G \square H$의 Hadwiger 수가 유계이면, $G \square H$는 유계 폭의 바위를 가진 평면 격자이거나, 두 개의 유사한 바위를 가진 실린더형 격자이거나, 토러스형 격자이다.
• 만약 $\chi(G) \geq \chi(H)$ 이고 $H$가 $\chi(G)+1$개 이상의 정점을 가지거나 $G$의 트리너비가 충분히 크다면, $G \square H$에 대해 Hadwiger의 추측이 성립한다.
• 모든 비자명한 곱 $G \square H$에 대해 Hadwiger의 추측의 타당성은 $G \square K_2$에 대해 성립하는지 여부와 동치이다.
• $G \square K_2$의 Hadwiger 수는 $G$의 트리너비와 연결되어 있으며, 어떤 상수 $c$에 대해 $\textup{tw}(G) \geq c\ell^4\sqrt{\log \ell}$ 이면 $\eta(G \square K_2) \geq \ell$ 이다.
• $d$차원 곱에 대해, 만약 Hadwiger의 추측이 모든 그래프에 대해 성립한다면, $\eta(G_1 \square \cdots \square G_d) \geq (2^{d/4} - o(1)) \chi(G_1 \square \cdots \square G_d)$ 가 성립하며, 이는 곱의 계수를 1에서 $d$에 대해 지수적으로 향상시킨다.