[논문 리뷰] Closed form distance formula for the balanced multiple travelling salesmen

Wolfgang Garn|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 21.

Vehicle Routing Optimization Methods참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 격자에서 균형 잡힌 다중 여행세일즈맨문제(mTSP)에 대한 폐쇄형 거리 공식을 제안한다. 이 공식은 균일하게 분포된 n개의 점으로부터의 기대 최소 거리에서 유도된다. 두 가지 휴리스틱인 가장 가까운 노드 및 가장 가까운 차량을 도입하여, 판매원 수를 늘릴수록 거리가 약 선형적으로 증가하고, 이는 고객 수의 제곱근에 비례함을 보여주며, 휴리스틱이나 정확한 방법을 실행하지 않고도 빠른 추정이 가능하다.

ABSTRACT

As a first contribution the mTSP is solved using an exact method and two heuristics, where the number of nodes per route is balanced. The first heuristic uses a nearest node approach and the second assigns the closest vehicle (salesman). A comparison of heuristics with test-instances being in the Euclidean plane showed similar solution quality and runtime. On average, the nearest node solutions are approximately one percent better. The closest vehicle heuristic is especially important when the nodes (customers) are not known in advance, e.g. for online routing. Whilst the nearest node is preferable when one vehicle has to be used multiple times to service all customers. The second contribution is a closed form formula that describes the mTSP distance dependent on the number of vehicles and customers. Increasing the number of salesman results in an approximately linear distance growth for uniformly distributed nodes in a Euclidean grid plane. The distance growth is almost proportional to the square root of number of customers (nodes). These two insights are combined in a single formula. The minimum distance of a node to $n$ uniformly distributed random (real and integer) points was derived and expressed as functional relationship dependent on the number of vehicles. This gives theoretical underpinnings and is in agreement with the distances found via the previous mTSP heuristics. Hence, this allows to compute all expected mTSP distances without the need of running the heuristics.

연구 동기 및 목표

• 휴리스틱이나 정확한 알고리즘을 실행하지 않고도 총 mTSP 거리를 추정하기 위한 이론적 기반을 마련하는 것.
• 균일하게 분포된 노드 상황에서 판매원 수를 늘일 경우 총 경로 거리에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 균형 잡힌 mTSP 인스턴스에서 해의 질과 실행 시간 측면에서 가장 가까운 노드와 가장 가까운 차량 휴리스틱 간의 성능을 비교하는 것.
• 통계적 거리 모델을 사용하여 기대 mTSP 거리, 차량 수, 고객 수 간의 기능적 관계를 유도하는 것.
• 휴리스틱 및 정확한 방법에 대한 계산적으로 효율적인 대안을 제공하여 유클리드 격자에서 mTSP 거리를 예측하는 것.

제안 방법

• 각 단계에서 방문하지 않은 노드 중 가장 가까운 노드를 선택하는 가장 가까운 노드 휴리스틱을 사용하여 균형 잡힌 경로 길이를 보장한다.
• 각 신규 고객을 이용 가능한 판매원 중 가장 가까운 곳에 배정하는 가장 가까운 차량 휴리스틱을 사용하여 온라인 또는 동적 라우팅에 적합하다.
• 단위 구간과 2차원 격자에서 균일하게 분포된 n개의 랜덤 점으로부터의 기대 최소 거리를 순서 통계를 사용하여 유도한다.
• 유도된 기대 최소 거리를 사용하여 총 mTSP 거리를 모델링하고, 차량 수와 노드 수를 결합하여 폐쇄형 공식을 구성한다.
• 유클리드 격자 인스턴스에서 휴리스틱 결과와 공식을 검증하여 시뮬레이션된 mTSP 해와 강한 일치를 보였다.
• 작은 인스턴스에서 정확한 mTSP 해를 구하기 위해 정수 프로그래밍 설정과 부분순환 제거 제약(예: Miller-Tucker-Zemlin)을 기준으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노드가 2차원 유클리드 격자에 균일하게 분포할 때, 판매원 수가 증가함에 따라 총 mTSP 거리는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 균일하게 분포된 n개의 점으로부터 한 점까지의 기대 최소 거리 간의 기능적 관계는 무엇이며, 이를 어떻게 mTSP 총 거리를 모델링하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ3 균형 잡힌 mTSP 인스턴스에서 가장 가까운 노드 휴리스틱과 가장 가까운 차량 휴리스틱은 해의 질과 실행 시간 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 휴리스틱이나 정확한 방법을 실행하지 않고도 폐쇄형 공식이 mTSP 거리를 정확하게 예측할 수 있는가?
• RQ5 더 많은 판매원을 추가할 경우 관측된 총 거리의 선형 증가에 대한 이론적 근거는 무엇이며, 이는 고객 수의 제곱근과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 노드가 유클리드 격자에 균일하게 분포할 경우 총 mTSP 거리는 판매원 수에 대해 약 선형적으로 증가한다.
• 거리 증가는 약 고객 수의 제곱근에 비례하며, 이는 부분선형 스케일링 효과를 나타낸다.
• 시험된 인스턴스에서 가장 가까운 노드 휴리스틱은 가장 가까운 차량 휴리스틱보다 평균적으로 약 1% 더 우수한 해를 생성한다.
• 가장 가까운 차량 휴리스틱은 고객 위치가 사전에 알려지지 않은 동적 또는 온라인 라우팅 시나리오에서 특히 효과적이다.
• 기대 mTSP 거리에 대한 유도된 폐쇄형 공식은 휴리스틱 결과와 일치하며, 시뮬레이션이나 정확한 계산 없이도 거리 추정에 대한 이론적 기반을 제공한다.
• 공식은 단위 구간과 2차원 격자에서 균일하게 분포된 n개의 점으로부터 한 점까지의 기대 최소 거리에 기반하며, 식 (16)에 표현된 관계를 바탕으로 하며, mTSP에 대해 식 (14)에서 일반화된다.