[논문 리뷰] Co-clustering for directed graphs: the Stochastic co-Blockmodel and spectral algorithm Di-Sim

Karl Rohe, Tai Qin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 10.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 61인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 방향성 그래프를 위한 스펙트럴 동시 클러스터링 알고리즘인 Di-Sim을 제안하며, 노드의 발신 및 수신 패턴을 별도로 모델링하여 비대칭 역할을 식별한다. degree-corrected Stochastic co-Blockmodel을 도입하고, 정규화 및 투영을 통해 희박하고 이질적인 도수 조건 하에서 약한 일致성을 증명함으로써, Enron, 정치 블로그, C. elegans와 같은 실제 네트워크에서 지속적인 발신-수신 비대칭성을 탐지할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Directed graphs have asymmetric connections, yet the current graph clustering methodologies cannot identify the potentially global structure of these asymmetries. We give a spectral algorithm called di-sim that builds on a dual measure of similarity that correspond to how a node (i) sends and (ii) receives edges. Using di-sim, we analyze the global asymmetries in the networks of Enron emails, political blogs, and the c elegans neural connectome. In each example, a small subset of nodes have persistent asymmetries; these nodes send edges with one cluster, but receive edges with another cluster. Previous approaches would have assigned these asymmetric nodes to only one cluster, failing to identify their sending/receiving asymmetries. Regularization and "projection" are two steps of di-sim that are essential for spectral clustering algorithms to work in practice. The theoretical results show that these steps make the algorithm weakly consistent under the degree corrected Stochastic co-Blockmodel, a model that generalizes the Stochastic Blockmodel to allow for both (i) degree heterogeneity and (ii) the global asymmetries that we intend to detect. The theoretical results make no assumptions on the smallest degree nodes. Instead, the theorem requires that the average degree grows sufficiently fast and that the weak consistency only applies to the subset of the nodes with sufficiently large leverage scores. The results results also apply to bipartite graphs.

연구 동기 및 목표

• 기존 클러스터링 방법이 방향성 네트워크의 전반적 비대칭성을 포착하는 데 한계를 가진다는 문제를 해결하기 위해.
• 희박하고 이질적인 방향성 그래프를 다룰 수 있는 계산적으로 타당한 스펙트럴 알고리즘을 개발하기 위해.
• 공동 클러스터링을 통해 Stochastic Blockmodel을 방향성 네트워크로 확장하여, 확률적으로 동일한 발신자와 수신자를 구분하기 위해.
• 최소 노드 도수를 요구하지 않으며 클러스터링 일치성에 대한 이론적 보장을 제공하기 위해.
• Enron 이메일 및 신경 연결망과 같은 실제 방향성 네트워크에서 지속적인 비대칭성을 드러내는 데에 본 방법의 능력을 입증하기 위해.

제안 방법

• Di-Sim은 노드의 발신 및 수신 패턴에 기반한 이중 유사도 측정을 사용하여 방향성 그래프의 동시 클러스터링 프레임워크를 구성한다.
• 희박하고 비대칭적인 인접 행렬에서 특이값 분해를 안정화하기 위해 매개수 τ를 사용한 정규화를 적용한다.
• 도수 이질성 하에서 추정을 향상시키기 위해 좌변 및 우변 특이 벡터를 단위 구면에 투영한다.
• 정규화된 인접 행렬의 주요 특이 벡터를 활용하여 발신자 및 수신자 클러스터를 식별한다.
• 이 방법은 도수 이질성과 방향성 비대칭성을 모두 허용하는 degree-corrected Stochastic co-Blockmodel에 기반한다.
• 이론적 분석은 레버리지 스코어를 사용하여 알고리즘의 난이도를 제어하고, 증가하는 최소 도수를 요구하지 않는 약한 일치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 동시 클러스터링 알고리즘이 노드가 한 클러스터로 발신하고 다른 클러스터에서 수신하는 지속적인 비대칭성을 탐지할 수 있는가?
• RQ2 정규화와 투영은 희박하고 이질적인 방향성 그래프에서 스펙트럴 클러스터링의 성능을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 degree-corrected Stochastic co-Blockmodel 하에서 Di-Sim 알고리즘의 약한 일致성을 보장하는 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ4 Enron 이메일 및 C. elegans 신경 연결망과 같이 알려진 구조적 비대칭성이 있는 실제 방향성 네트워크에서 알고리즘의 성능은 어떠한가?
• RQ5 최소 도수 대신 레버리지 스코어가 희박한 방향성 그래프에서 특이 벡터의 수렴을 얼마나 결정짓는가?

주요 결과

• Di-Sim은 Enron 이메일 네트워크에서 Bill Williams를 지속적인 비대칭성을 보이는 노드로 식별하여, 한 클러스터로 발신하고 다른 클러스터에서 수신함을 확인했다.
• 정치 블로그 네트워크에서는 비대칭 링크 행동을 보이는 6개의 블로그를 탐지하여 알려진 정치적 극화 패tern을 확인했다.
• C. elegans 신경 연결망에서는 발신자 역할과 수신자 역할이 다른 뉴런들이 형성하는 피드포워드 회로를 드러냈다.
• 이론적 분석 결과, Di-Sim는 증가하는 최소 도수를 요구하지 않으며 degree-corrected Stochastic co-Blockmodel 하에서 약한 일치성을 달성한다.
• 정규화와 투영 덕분에 도수 이질성에 대해 알고리즘의 성능이 강건하여 특이 벡터 추정 과정이 안정화된다.
• 결과는 이분 그래프로도 확장되며, 본 방법이 방향성 네트워크를 초월한 더 넓은 적용 가능성을 보여준다.