[논문 리뷰] (Co)homology of quantum complete intersections

Petter Andreas Bergh, Karin Erdmann|ArXiv.org|2007. 09. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 차원이 두 개인 양자 완전교차의 최소 프로젝티브 이중모듈러 분해를 구성하여 그들의 호크시ลด 호모로지와 코호몰로지를 명시적으로 계산할 수 있도록 한다. 양자 매개수 $ q $ 가 단위근이 아닐 때만 고차수에서 호크시ลด 코호몰로지가 0이 되며, 호크시ลด 호모로지는 항상 비영임을 보여주며, 이는 [BGMS]에서 제시된 네 차원 자기수반 대수와 동일한 호모로지적 성질을 갖는 대수의 큰 클래스를 제공한다.

ABSTRACT

We construct a minimal projective bimodule resolution for every finite dimensional quantum complete intersection of codimension two. Then we use this resolution to compute both the Hochschild cohomology and homology for such an algebra. In particular, we show that the cohomology vanishes in high degrees, while the homology is always nonzero.

연구 동기 및 목표

• 차원이 두 개인 양자 완전교차에 대한 최소 프로젝티브 이중모듈러 분해를 구성하기.
• 해당 대수의 호크시ลด 코호몰로지와 호모로지를 명시적으로 계산하기.
• 높은 차수에서 호크시ลด 코호몰로지가 언제 0이 되는지 규명하기.
• 양자 매개수 $ q $ 와 대수의 호모로지적 성질 간의 관계를 명확히 하기.
• $ q $ 가 단위근일 때 호크시ลด 코호몰로지 링의 곱셈 구조를 확립하기.

제안 방법

• 대수 $ A = k\ngle X,Y \rangle / (X^a, XY - qYX, Y^b) $ 의 최소 프로젝티브 이중모듈러 분해 $ \bb{P} $ 를 구성하고, $ P_n $ 이 질서 $ n+1 $ 의 자유모듈러임을 보장하기.
• $ i+j = n $ 인 $ \epsilon(i,j) $ 를 $ P_n $ 의 생성자로 정의하고, 이를 $ A^e $-모듈러의 직합으로서 분해를 구축하기.
• 다양분 $ d_1, d_2 $ 와 고차수 사상들을 정의하기 위해 $ A^e $ 내의 핵심 원소 $ \tau_1(s), \tau_2(s), \gamma_1(s), \gamma_2(s) $ 를 도입하기.
• 자기수반 대수 $ R_1 = k\langle x \rangle $, $ R_2 = k\langle y \rangle $ 의 외부 분해를 자동형사상 $ \sigma_1, \sigma_2 $ 를 통해 이용하여 이중복합체를 구성하기.
• 얻어진 분해를 이용하여 $ \Hom_{A^e}(\bb{P}, A) $ 를 통한 호크시ลด 코호몰로지와 $ \bb{P} \otimes_{A^e} A $ 를 통한 호모로지를 계산하기.
• 특히 $ \delta_n^\nu $ 의 핵과 상의 차원을 계산하고, 비가역적 사상의 존재를 통해 비영임을 검증함으로써 코호몰로지와 호모로지를 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 매개수 $ q $ 가 어떤 조건을 만족할 때, 차원이 두 개인 양자 완전교차의 호크시ลด 코호몰로지가 고차수에서 0이 되는가?
• RQ2 이러한 대수의 호크시ลด 호모로지는 항상 비영인가?
• RQ3 $ q $ 가 단위근일 때 호크시ลด 코호몰로지 링의 곱셈 구조는 무엇인가?
• RQ4 대수 $ A $ 의 최소 프로젝티브 이중모듈러 분해는 그 부분대수 $ R_1 $ 과 $ R_2 $ 의 분해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $ q $ 가 단위근이 아닐 때, 코호몰로지 링이 섬유곱으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 호크시ลด 코호몰로지 $ \operatorname{HH}^n(A) $ 는 $ q $ 가 단위근이 아닐 때에만 모든 $ n \geq 3 $ 에서 0이 된다.
• 호크시ลด 호모로지 $ \operatorname{HH}_n(A) $ 는 $ q $ 가 단위근이든 아니든 모든 $ n \geq 0 $ 에서 비영이다.
• $ q $ 가 단위근이 아닐 때, $ \operatorname{HH}^1(A) $ 는 두 차원이며 $ \operatorname{HH}^2(A) $ 는 한 차원이다.
• 호크시ลด 코호몰로지 링 $ \operatorname{HH}^*(A) $ 는 $ q $ 가 단위근이 아닐 때에만 유한차원이다.
• $ q $ 가 단위근이 아닐 때, $ \operatorname{HH}^*(A) \cong k[U]/(U^2) \times_k k\langle V,W\rangle/(V^2, VW+WV, W^2) $ 를 만족하며, $ U $ 는 차수 0, $ V,W $ 는 차수 1이다.
• 곱 $ hg \in \operatorname{HH}^2(A) $ 는 비영이므로, 코호몰로지 링 내의 비자명한 곱셈 구조가 확인된다.