[论文解读] Coactions of Hopf C*-bimodules

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文引入了霍普夫 $C^*$-双模的共作用作为统一框架，推广了霍普夫 $C^*$-代数的共作用和广群的作用。通过 $C^*$-伪卡斯系统，构造了约化交叉积并建立了精细共作用的对偶定理，表明精细共作用的双共作用与原始共作用是莫里塔等价的。其主要贡献是建立了局部拓扑广群上的连续费尔包与该广群的约化广群 $C^*$-代数的共作用之间的范畴对偶。

ABSTRACT

Coactions of Hopf C*-bimodules simultaneously generalize coactions of Hopf C*-algebras and actions of groupoids. Following an approach of Baaj and Skandalis, we construct reduced crossed products and establish a duality for fine coactions. Examples of coactions arise from Fell bundles on groupoids and actions of a groupoid on bundles of C*-algebras. Continuous Fell bundles on an etale groupoid correspond to coactions of the reduced groupoid algebra, and actions of a groupoid on a continuous bundle of C*-algebras correspond to coactions of the function algebra.

研究动机与目标

• 开发霍普夫 $C^*$-双模共作用的统一框架，同时推广霍普夫 $C^*$-代数的共作用与广群的作用。
• 通过 $C^*$-伪卡斯系统构造约化交叉积与对偶共作用，扩展巴杰与斯卡兰迪斯的对偶理论。
• 建立局部拓扑广群上的连续费尔包与该广群的约化广群 $C^*$-代数的共作用之间的范畴对偶。
• 证明当广群为局部拓扑广群时，约化广群 $C^*$-代数的每个精细共作用均可由一个连续费尔包诱导。

提出的方法

• 使用 $C^*$-模的相对张量积和以 $C^*$-基代数为底的 $C^*$-代数的纤维积，定义霍普夫 $C^*$-双模的共作用。
• 通过 $C^*$-伪卡斯系统构造约化交叉积与对偶共作用，该系统由一个 $C^*$-伪乘法单位算子与一个对称性构成。
• 应用 KSGNS 构造与内部张量积结构，定义基代数上的希尔伯特 $C^*$-模结构。
• 利用对偶共作用构造，建立精细共作用的双共作用与原始共作用之间的莫里塔等价。
• 依赖于从局部紧致豪斯多夫广群构造 $C^*$-伪卡斯系统，从而得到两个对偶的霍普夫 $C^*$-双模：函数代数与约化广群 $C^*$-代数。
• 使用自然变换与范畴论工具，证明将费尔包映射到共作用的赋值构成一个满且余反射的子范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义霍普夫 $C^*$-双模的共作用，以同时推广霍普夫 $C^*$-代数的共作用与广群的作用？
• RQ2 霍普夫 $C^*$-双模的精细共作用的约化交叉积与对偶共作用具有何种结构？
• RQ3 局部拓扑广群上的连续费尔包与该广群的约化广群 $C^*$-代数的共作用之间有何关系？
• RQ4 当广群为局部拓扑广群时，约化广群 $C^*$-代数的每个精细共作用是否均可由一个连续费尔包诱导？
• RQ5 连续费尔包范畴与约化广群 $C^*$-代数的共作用范畴之间存在何种范畴关系？

主要发现

• 霍普夫 $C^*$-双模的精细共作用的双共作用与原始共作用是莫里塔等价的，确立了对偶性结果。
• 广群 $G$ 在连续 $C^*$-代数丛上的每个作用都对应于函数代数 $C_0(G^{(0)})$ 的一个精细共作用。
• 在局部紧致豪斯多夫广群 $G$ 上的每个连续费尔包都诱导出约化广群 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ 的一个共作用。
• 对于一个局部拓扑广群 $G$，$C^*_r(G)$ 的每个非常精细共作用均可由 $G$ 上的连续费尔包诱导，推广了奎格与巴杰–斯卡兰迪斯从群到广群的结果。
• 将费尔包映射到共作用的赋值定义了一个满且余反射的子范畴嵌入，且相关函子之间存在自然同构。
• 从广群构造 $C^*$-伪卡斯系统可得到两个对偶的霍普夫 $C^*$-双模：$C_0(G^{(0)})$ 与 $C^*_r(G)$，它们在适当意义下是对偶的。