[논문 리뷰] $β$-coalescents and stable Galton-Watson trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 44인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent 과정과 $n$개의 레이블이 부여된 안정적인 Galton-Watson 트리의 잘라내기(pruning) 사이의 연결을 수립하며, 이러한 트리에서의 이산적 잘라내기 절차가 $\beta$-coalescent 역학을 생성함을 보여준다. 주요 결과는 무한 분산을 가진 안정적인 Galton-Watson 트리에서 루트를 고립시키는 데 필요한 자르기 횟수가 渐近적으로 $\beta$-coalescent에서의 융합 사건 수와 수렴하며, 연속적 Lévy 트리로의 수렴을 통해 최종 융합 사건에서 블록 크기의 극한 분포가 유도됨을 보여준다.

ABSTRACT

Representation of coalescent process using pruning of trees has been used by Goldschmidt and Martin for the Bolthausen-Sznitman coalescent and by Abraham and Delmas for the $β(3/2,1/2)$-coalescent. By considering a pruning procedure on stable Galton-Watson tree with $n$ labeled leaves, we give a representation of the discrete $β(1+α,1-α)$-coalescent, with $α\in [1/2,1)$ starting from the trivial partition of the $n$ first integers. The construction can also be made directly on the stable continuum L{é}vy tree, with parameter $1/α$, simultaneously for all $n$. This representation allows to use results on the asymptotic number of coalescence events to get the asymptotic number of cuts in stable Galton-Watson tree (with infinite variance for the reproduction law) needed to isolate the root. Using convergence of the stable Galton-Watson tree conditioned to have infinitely many leaves, one can get the asymptotic distribution of blocks in the last coalescence event in the $β(1+α,1-α)$-coalescent.

연구 동기 및 목표

• 모든 $\alpha \in [1/2,1)$ 에 대해 $n$개의 레이블이 부여된 안정적인 Galton-Watson 트리에서 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent 과정을 생성하는 이산적 잘라내기 절차를 수립하는 것.
• 안정적인 Galton-Watson 트리에서 루트를 고립시키는 데 필요한 자르기 횟수와 $\beta$-coalescent에서의 융합 사건 수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 안정적인 연속 Lévy 트리로의 수렴을 통해 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent의 최종 융합 사건에서 블록 크기의 점근적 분포를 도출하는 것.
• 이전의 재귀적 또는 이진 트리에서의 균일한 잘라내기 결과를 확장하여 노드 잘라내기를 통한 $\beta$-coalescent의 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 자식 수 생성 함수 $g(r) = r + \alpha(1-r)^{1/\alpha}$ 를 가진 임계 Galton-Watson 트리에 대해, 내부 노드는 $k_x(T)-1$ 비례로 선택되는 잘라내기 절차를 정의한다.
• 선택된 노드의 날개 서브트리를 제거하고, 새로운 리프 노드에 원래의 리프 레이블 블록을 재할당함으로써 절차를 반복한다.
• 이로 생성된 이산적 과정 $\Pi_{\text{GW}}^{[n]}$ 이 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent를 따르며, 융합 측도는 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$ 임을 보여준다.
• 안정적인 Lévy 트리의 인덱스 $1/\alpha$ 를 사용하여 연속적 설정으로 확장함으로써 모든 $n$에 대해 동시에 표현 가능하게 한다.
• 조건부 안정적인 Galton-Watson 트리가 연속 Lévy 트리로 수렴함에 따라, 융합 및 루트 고립의 극한 분석이 가능해지며 점근적 결과를 도출한다.
• 생성 함수 기법과 크기 비례 크기 비례 분포(예: Kesten의 트리)를 사용하여 최종 융합 사건에서의 블록 수의 생성 함수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n$개의 레이블이 부여된 이산적 안정적인 Galton-Watson 트리에서 $\alpha \in [1/2,1)$ 에 대해 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent 과정을 재현할 수 있는 잘라내기 절차가 존재하는가?
• RQ2 무한 분산 자식 수 분포를 가진 안정적인 Galton-Watson 트리에서 루트를 고립시키는 데 필요한 자르기 횟수의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ3 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent의 최종 융합 사건에서의 블록 크기 분포는 잘라내기 절차의 연속 극한으로 어떻게 유도되는가?
• RQ4 $\beta$-coalescent에서의 융합 사건 수와 해당 Galton-Watson 트리에서의 자르기 횟수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 레이블이 $n$개 부여된 안정적인 Galton-Watson 트리에서 잘라내기 절차는 $\mathbf{P}_n$ 하에서 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent 과정을 생성하며, 융합 측도는 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$ 이다.
• 무한 분산 자식 수 분포를 가진 안정적인 Galton-Watson 트리에서 루트를 고립시키는 데 필요한 점근적 자르기 횟수는 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent에서의 점근적 융합 사건 수와 일치한다.
• $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-coalescent의 최종 융합 사건에서의 블록 수의 극한 분포는 안정적인 Lévy 트리에서의 잘라내기 절차의 연속 극한으로부터 도출된다.
• 최종 융합 사건에서의 블록 수의 생성 함수는 $\varphi_\alpha(r)$ 로 표현되며, 크기 비례 및 조건부 Galton-Watson 트리 구성 방법을 통해 유도된다.
• 조건부 안정적인 Galton-Watson 트리가 안정적인 연속 Lévy 트리로 수렴함에 따라, 이산적 잘라내기 역학이 연속 설정으로 이행 가능해지며, 이는 모든 $n$에 대해 유효하다.
• 분석 결과, 이산 트리에서 루트를 고립시키는 데 필요한 자르기 횟수가 $\beta$-coalescent의 융합 사건 수로 분포 수렴하며, 이 극한 분포는 생성 함수 $\varphi_\alpha(r)$ 로 특성화됨을 확인한다.