[论文解读] Cobordism of fold maps, stably framed manifolds and immersions

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文通过结合稳定框架流形与具有预定法丛的浸入，为映射到欧氏空间的折痕映射建立了完整的几何cobordism不变量。证明了偶余维折叠映射与框架折叠映射的cobordism类完全由稳定同伦群与浸入cobordism群导出的不变量分类，使用基本构造方法并结合折痕映射h-原理的一个推论。

ABSTRACT

We give complete geometric invariants of cobordisms of fold maps with oriented singular set and cobordisms of even codimensional fold maps. These invariants are given in terms of cobordisms of stably framed manifolds and cobordisms of immersions with prescribed normal bundles defined by the author in his earlier works.

研究动机与目标

• 为具有定向奇点集的折叠映射的cobordism类提供完整的几何不变量。
• 通过将奇点集外源流形的cobordism类纳入，扩展先前的不变量。
• 利用稳定同伦与浸入cobordism群，对映射到欧氏空间的框架折叠映射与偶余维折叠映射实现完全分类。

提出的方法

• 本文通过折叠映射结构诱导的奇点集浸入的规范框架，利用其cobordism类构造不变量。
• 将稳定框架流形的cobordism群作为关键组成部分，将源流形的拓扑与折叠映射的cobordism类相联系。
• 该方法依赖于Ando的折叠映射h-原理的一个简单推论，使得当不变量为零时可构造出零cobordism。
• 利用相对h-原理，将部分折叠映射在零cobordant流形上扩展为完整的框架折叠映射，确保不变量的充分性。
• 不变量通过映射到Thom空间与稳定同伦群定义，特别是 $ \pi^{s}_{n-1} $ 与 $ \pi^{s}_{n-1}(B(O(\lambda) \times O(q+1-\lambda))) $。
• 通过展示不变量为零时存在零cobordism，验证了构造的正确性，方法包括纤维化满同态与框架扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有定向奇点集的折叠映射的cobordism类的完整几何不变量是什么？
• RQ2 如何用已知的拓扑不变量来捕捉奇点集外源流形的cobordism类？
• RQ3 能否利用稳定框架流形与浸入cobordism群，完全分类偶余维折叠映射的cobordism群？
• RQ4 先前工作[16, 17, 18]的不变量与稳定框架cobordism结合后，能在多大程度上实现完全分类？
• RQ5 当不变量为零时，折叠映射的h-原理是否足以构造出零cobordism？

主要发现

• 从折叠映射的定向cobordism群到稳定cobordism群 $ \mathcal{C}^{O}_{n+q}(n) $ 与稳定同伦群的乘积的同态 $ \Im_{n,q}^{(O)} $ 是单射。
• 当余维 $ q = 2k $ 时，不变量 $ \Im_{n,2k}^{(O)} $ 完全分类了cobordism群 $ \mathcal{C}ob^{(O)}_{f}(n+2k, -2k) $。
• 当 $ q = 0 $ 时，定向cobordism群 $ \mathcal{C}ob^{O}_{f}(n,0) $ 同构于n阶球面的稳定同伦群 $ \pi^{s}_{n} $，为此同构关系提供了新证明。
• 不变量 $ \xi_{\lambda,q} $ 与 $ \sigma_{n,q} $ 足够用于检测零cobordism：若全部为零，则折叠映射是框架零cobordant的。
• 构造表明，当浸入与框架不变量为零时，通过相对h-原理可推出存在框架零cobordism。
• 结果被推广至非定向情形，表明 $ \Im_{n,q} $ 在非定向cobordism类下同样为单射。