[논문 리뷰] Cocycle Superrigidity and Group Actions on Stably Finite C*-Algebras

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 초유한 II₁ 연산자 대수 R 위의 베르누이 이동에 대한 Popa의 코ycle 수리성 정리를 이용하여, 무한한 유형의 UHF 대수 D 위에 계수 무한 집합의 셀프-코크클 쌍대가 아닌 강한 외부 작용이 존재함을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 작용의 약한 코크클 쌍대 클래스가 관련된 아벨 프로-p 군 G를 완전히 기억한다는 것이며, 이는 1-코homology 집합과 표준적 쌍대성에 의해 재구성된다.

ABSTRACT

Let $\Lambda $ be a countably infinite property (T) group, and let $D$ be UHF-algebra of infinite type. We prove that there exists a continuum of pairwise non (weakly) cocycle conjugate, strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$. The proof consists in assigning, to any second countable abelian pro-$p$ group $G$, a strongly outer action of $\Lambda $ on $D$ whose (weak) cocycle conjugacy class completely remembers the group $G$. The group $G$ is reconstructed from the action via its (weak) 1-cohomology set endowed with a canonical pairing function. The key ingredient in this computation is Popa's cocycle superrigidity theorem for Bernoulli shifts on the hyperfinite II$_{1} $ factor $R$. Our construction also shows the following stronger statement: the relations of conjugacy, cocycle conjugacy, and weak cocycle conjugacy of strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$ are complete analytic sets, and in particular not Borel. The same conclusions hold more generally when $\Lambda $ is only assumed to contain an infinite subgroup with relative property (T), and for actions on (not necessarily simple) separable, nuclear, UHF-absorbing, self-absorbing C*-algebras with at least one trace. Finally, we use the techniques of this paper to construct outer actions on $R$ with prescribed cohomology. Precisely, for every infinite property (T) group $\Lambda$, and for every countable abelian group $\Gamma$, we construct an outer action of $\Lambda$ on $R$ whose 1-cohomology is isomorphic to $\Gamma$.

연구 동기 및 목표

• 무한한 유형의 UHF 대수 D 위에 성질 (T) 군 $\Lambda$의 비가산 수의 쌍대가 아닌 강한 외부 작용을 구성하는 것.
• 이러한 작용의 약한 코크클 쌍대 클래스가 관련된 두 번째 가산 아벨 프로-p 군 G를 완전히 결정한다는 것을 보이는 것.
• 이러한 작용에 대한 쌍대, 코크클 쌍대, 약한 코크클 쌍대 관계가 완전한 분석 집합임을 증명하여, 이들이 보렐 집합이 아니라는 것을 보이는 것.
• 상대적 성질 (T) 조건 하에서, 적어도 한 개의 추적을 가진 분리 가능하고, 핵심적이고, UHF를 흡수하며, 자기흡수적인 C*-대수 위의 작용으로 결과를 확장하는 것.
• 주어진 가산 아벨 군 $\Gamma$와 동일한 1-코homology를 갖는 R 위의 외부 작용을 구성하는 것.

제안 방법

• Popa의 R 위의 베르누이 이동에 대한 코크클 수리성 정리를 영감으로 삼아, 각 두 번째 가산 아벨 프로-p 군 $G$에 대해 $D$ 위에 강한 외부 작용을 부여하는 구성 방법을 사용한다.
• 작용의 1-코homology 집합 위의 표준적 쌍대성을 이용하여, 약한 코크클 쌍대 클래스로부터 군 $G$를 재구성한다.
• 코homology의 구조적 강성 보장에 핵심 기술적 요소로 Popa의 R 위의 베르누이 이동에 대한 코크클 수리성 정리를 활용한다.
• 연산자 대수학과 군 코hom로의 기법을 적용하여, 쌍대 및 코크클 쌍대 관계가 완전한 분석 집합임을 보인다.
• 핵심성, UHF 흡수성, 자기흡수성 조건을 만족하는 더 일반적인 C*-대수 위의 작용으로 구성 방법을 일반화한다.
• 제어된 코크클 변형을 통해 코homological 자료를 실현하여, R 위의 외부 작용을 임의의 가산 아벨 1-코homology를 갖도록 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성질 (T) 군 $\Lambda$에 대해 무한한 유형의 UHF 대수 D 위에 비가산 수의 쌍대가 아닌 강한 외부 작용을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 작용의 약한 코크클 쌍대 클래스가 관련된 아벨 프로-p 군 $G$의 구조를 어느 정도 완전히 암시하는가?
• RQ3 D 위의 강한 외부 작용에 대한 쌍대, 코크클 쌍대, 약한 코크클 쌍대 관계는 보렐 가측성인지, 더 복잡한가?
• RQ4 초유한 II$_1$ 연산자 대수 R 위의 외부 작용의 1-코homology는 주어진 가산 아벨 군 $\Gamma$로 임의로 실현될 수 있는가?
• RQ5 상대적 성질 (T) 부분군은 스테이블리 유한 C*-대수 위의 작용의 강성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 무한한 유형의 UHF 대수 D 위에 쌍대가 아닌 강한 외부 작용의 연속체가 존재한다.
• 각 이러한 작용의 약한 코크클 쌍대 클래스는 그 구성에 사용된 두 번째 가액 아벨 프로-p 군 $G$를 완전히 기억한다.
• 표준적 쌍대를 지닌 작용의 1-코homology 집합은 작용의 코homological 자료로부터 $G$를 완전히 재구성할 수 있다.
• 이러한 작용에 대한 쌍대, 코크클 쌍대, 약한 코크클 쌍대 관계는 완전한 분석 집합이므로, 보렐 집합이 아니다.
• 상대적 성질 (T)을 갖는 무한 부분군을 가진 $\Lambda$ 조건 하에서, 결과는 분리 가능하고, 핵심적이며, UHF를 흡수하고, 자기흡수적인 C*-대수 위의 작용으로 확장된다.
• 모든 무한한 성질 (T) 군 $\Lambda$와 모든 가산 아벨 군 $\Gamma$에 대해, 초유한 II$_1$ 연산자 대수 $R$ 위에 1-코homology가 $\Gamma$와 동형인 외부 작용이 존재한다.