[논문 리뷰] Codimension two holomorphic foliations

Dominique Cerveau, Alcides Lins Neto|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위의 코드레인지 두 개의 흑색적 분포와 분포에 대한 국소적이고 전역적인 성질을 조사한다. 완전교차의 안정성과 코드레인지 한 개의 분포에 포함되지 않는 분포의 존재를 증명한다. 주요 결과는 원점에서 고립된 특이점을 가진 $ℂ^4$ 위에서 코드레인지 두 개의 분포를 정의하는 동차 2형식이 존재할 수 없다는 것이다—이러한 특이점 집합은 반드시 직선을 포함해야 하며, 따라서 차원이 최소한 하나 이상이어야 한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of codimension two holomorphic foliations and distributions. We prove the stability of complete intersection of codimension two distributions and foliations in the local case. Converserly we show the existence of codimension two foliations which are not contained in any codimension one foliation. We study problems related to the singular locus and we classify homogeneous foliations of small degree.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 위의 코드레인지 두 개의 흑색적 분포와 분포의 국소적이고 전역적인 구조를 이해하는 것.
• 코드레인지 두 개의 분포가 코드레인지 한 개의 분포에 포함될 수 있는지 조사하는 것.
• 특히 $ℂ^4$ 위에서 동차 2형식이 정의하는 코드레인지 두 개의 분포의 특이점 집합의 성격을 분석하는 것.
• 특히 차수 0, 1, 2인 작은 차수의 동차 코드레인지 두 개의 분포를 분류하는 것.
• 원점에서 고립된 특이점을 가질 수 있는 코드레인지 두 개의 분포가 동차 2형식으로 정의될 수 있는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 국소적으로 분해 가능하고 프로푸스 적분 가능 조건을 만족하는 흑색적 $q$-형식 $\eta$를 통한 국소적 정의를 사용하는 것.
• 마르랑제의 특이 프로푸스 정리에 의해 완전교차 구성에서 첫 번째 적분 가능 함수의 유지성을 확립하는 것.
• 통합 가능한 1형식의 외적 곱을 통해 코드레인지 한 개의 분포의 교차로서 코드레인지 두 개의 분포를 구성하는 것.
• $\u2102^4$ 위에서 동차 2형식을 대칭성과 리 미분에 의한 벡터장 불변성 분석을 통해 가능한 특이점 집합을 분류하는 것.
• 좌표 변화와 당김을 통해 문제를 낮은 차원의 형식으로 축소시키며, 어떤 $\Phi$에 대해 $\eta = \Phi^*(\widetilde{\eta})$ 임을 보이는 것.
• 공진 조건과 적분 인자 사용을 통해 벡터장을 선형화하고 일반적인 경우에서 전역 선형화 가능성을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코드레인지 두 개의 흑색적 분포가 $ℂ^4$ 위에 원점에서 고립된 특이점을 가질 수 있는가?
• RQ2 모든 코드레인지 두 개의 분포는 국소적으로 코드레인지 한 개의 분포의 완전교차로 구성될 수 있는가?
• RQ3 어떤 코드레인지 두 개의 분포는 어떤 코드레인지 한 개의 분포에도 포함되지 않는가?
• RQ4 코드레인지 두 개의 분포를 정의하는 동차 2형식이 $ℂ^4$ 위에서 특이점 집합의 구조는 어떠한가?
• RQ5 작은 차수의 동차 코드레인지 두 개의 분포는 어떻게 분류할 수 있는가?

주요 결과

• 원점에서 특이점을 가진 동차 2형식으로 정의된 $ℂ^4$ 위의 코드레인지 두 개의 분포는 고립된 특이점 집합을 가질 수 없다; 특이점 집합은 반드시 양의 차원 성분을 포함해야 한다.
• 이러한 분포의 특이점 집합은 항상 적어도 하나의 복소선을 포함하므로, $\dim \operatorname{Sing}(\eta) \geq 1$ 이다.
• 코드레인지 한 개의 분포의 완전교차로 구성된 코드레인지 두 개의 분포는 정의하는 형식이 자연스러운 비퇴화 조건을 만족할 경우, 소규모 변형에 대해 안정하다.
• 어떤 코드레인지 두 개의 분포는 국소적으로나 유리다양체 위에서도 어떤 코드레인지 한 개의 분포에도 포함되지 않는 경우가 존재한다.
• 차수 0, 1, 2인 동차 코드레인지 두 개의 분포의 분류는 이러한 분포의 공간을 기약 성분으로 분해하는 데 해당한다.
• 비공진 선형 부분을 가진 일반적인 경우에, 관련된 벡터장은 이차 좌표변환을 통해 전역적으로 선형화 가능하며, 이는 전역 적분 인자의 존재를 의미한다.