[논문 리뷰] Cofinitary Groups and Other Almost Disjoint Families of Reals

Bart Kastermans|ArXiv.org|2009. 10. 01.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 집합론 내에서 cofinitary 군과 실수의 거의분리 가닥들을 조사하며, 다양한 집합론적 가정 하에서 최대 거의분리(MAD) 가닥의 존재성과 성질에 초점을 맞춘다. ZFC에서 연속체보다 작은 임의의 regular uncountable 기수의 크기를 가진 ℕ의 부분집합들로 구성된 MAD 가닥이 존재하며, 모델을 치환에 코딩하는 포팅 및 재귀적 구성 기법을 사용하여 거의분리성과 최대성에 대해 cofinitary 군이 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

We study two different types of (maximal) almost disjoint families: very mad families and (maximal) cofinitary groups. For the very mad families we prove the basic existence results. We prove that MA implies there exist many pairwise orthogonal families, and that CH implies that for any very mad family there is one orthogonal to it. Finally we prove that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic very mad family. Cofinitary groups have a natural action on the natural numbers. We prove that a maximal cofinitary group cannot have infinitely many orbits under this action, but can have any combination of any finite number of finite orbits and any finite (but nonzero) number of infinite orbits. We also prove that there exists a maximal cofinitary group into which each countable group embeds. This gives an example of a maximal cofinitary group that is not a free group. We start the investigation into which groups have cofinitary actions. The main result there is that it is consistent that $\bigoplus_{α\in \aleph_1} \mathbb{Z}_2$ has a cofinitary action. Concerning the complexity of maximal cofinitary groups we prove that they cannot be $K_σ$, but that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic maximal cofinitary group. We prove that the least cardinality $\mathfrak{a}_g$ of a maximal cofinitary group can consistently be less than the cofinality of the symmetric group. Finally we prove that $\mathfrak{a}_g$ can consistently be bigger than all cardinals in Cichoń's diagram.

연구 동기 및 목표

• 다양한 집합론적 공리 하에서 ℕ의 부분집합들의 최대 거의분리(MAD) 가닥의 존재성과 구조를 조사하기.
• 군의 구조를 지닌 특수한 거의분리 가닥으로서 cofinitary 군을 탐구하기.
• 특히 연속체 이하의 regular uncountable 기수에서 MAD 가닥의 일관성을 결정하기.
• 모델을 치환에 코딩하면서 거의분리성과 cofinitary 성질을 유지하는 재귀적 구성 기법을 개발하기.
• 거의분리성 순서에서 최대인 cofinitary 군의 존재성을 확립하기.

제안 방법

• Zorn의 보조정리를 사용하여 ZFC에서 MAD 가닥의 존재성을 확보하며, 최대성을 보장하기 위한 추가 제약 조건을 적용한다.
• 카디널과 연속체를 유지하면서 특정 기수 크기의 MAD 가닥을 구성하기 위해 포팅 확장을 적용한다.
• 부분치환 g: ℕ → ℕ의 재귀적 구성 기법을 사용하며, g가 cofinitary 치환(즉, 유한 순환을 포함하지 않음)임을 보장하고, 주어진 가닥의 모든 f에 대해 f ∩ g가 무한함을 확보한다.
• 네 단계로 구성된 과정을 시행: 도메인 확장, 범위 확장, f를 만나기, 코딩. 각 단계에서 유한한 예외를 제외한 양호한 확장을 보장하기 위해 보조정리를 활용한다.
• 군 G 내의 단어 w_i를 통한 코딩을 통해 잘정렬된 모델을 치환 g에 코딩하며, 도메인과 범위에 대한 조건을 통해 충돌을 방지한다.
• 도메인 확장 및 범위 확장 보조정리를 적용하여, g의 확장이 모든 단어 w_i에 대해 양호함을 보장하며, 오직 유한한 선택지만 제외한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속체 이하의 임의의 regular uncountable 기수 크기에서 ℕ의 부분집합들로 구성된 MAD 가닥이 존재할 수 있으며, 만약 존재한다면 어떤 집합론적 가정 하에서 존재하는가?
• RQ2 cofinitary 군과 실수의 거의분리 가닥 간의 관계는 무엇이며, 이러한 군이 거의분리성 순서에서 최대가 될 수 있는가?
• RQ3 재귀적 구성 기법을 통해 잘정렬된 모델을 치환에 코딩하면서 cofinitary 성질과 거의분리성 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 포팅은 어떤 역할을 하여 연속체 이하의 임의의 regular uncountable 크기의 MAD 가닥을 구성하면서도 카디널 구조를 유지하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 치환의 가닥이 동시에 cofinitary 이며 거의분리성 순서에서 최대가 될 수 있는가?

주요 결과

• ZFC + CH 모델에서, 어떤 Cohen 확장에도 여전히 최대인 ℕ의 부분집합들로 구성된 MAD 가닥이 존재한다.
• 카디널과 연속체를 유지하는 포팅 확장에서, 임의의 regular uncountable 기수 κ < 2^ℵ₀에 대해 ℕ의 부분집합들로 구성된 크기 κ의 MAD 가닥이 존재한다.
• ℕ의 무한 부분집합들의 가산 가닥은 최대 거의분리가 될 수 없으며, 이는 기수 불변량 𝔞가 비가산임을 보여준다.
• 모델을 치환의 구조에 코딩하는 재귀적 구성 기법을 통해, 거의분리성 순서에서 최대인 cofinitary 군의 존재성이 확립된다.
• 공식 φ_G₀(g) ∨ ∃(m,ε)[wellfounded model encoded in g ∧ ∀⟨Eω,r,u⟩ φ(⟨Eω,r,u⟩,g) → r(⌜u∈𝒜⌝,∅̲)=1] 가 Π¹₁ 임을 보여주며, 이러한 군에 속하는지의 정의 가능성을 확인한다.
• 코딩 과정은 각 단어 w_i에 대해 치환 g가 모델의 정보를 유지하는 방식으로 구성되며, 이는 거의분리성과 cofinitary 행동을 보존한다.