[논문 리뷰] Cohomology of Lie semidirect products and poset algebras

Vincent E. Coll, Murray Gerstenhaber|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 호크시ลด-세르 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 리 반직접곱과 리 포지트 알제브라의 코homology를 분해하며, 리 포지트 알제브라 $ \frak{g} $에 대해 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 가 $ \frak{h}^* $ 위의 외부 대수와 기저가 되는 포지트의 네르비와의 심플렉틱 코homology의 텐서곱과 동형임을 보여준다. 핵심 결과는 복소기하학의 변형 이론과 유사한 세 구성요소로 이루어진 무한소 변형의 분해이다.

ABSTRACT

When $\mathfrak h$ is a toral subalgebra of a Lie algebra $\mathfrak g$ over a field $\mathbf k$, and $M$ a $\mathfrak g$-module on which $\mathfrak h$ also acts torally, the Hochschild-Serre filtration of the Chevalley-Eilenberg cochain complex admits a stronger form than for an arbitrary subalgebra. For a semidirect product $\mathfrak g = \mathfrak h \ltimes \mathfrak k$ with $\mathfrak h$ toral one has $H^*(\mathfrak g, M) \cong \bigwedge\mathfrak h^{\vee} \bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h} = H^*(\mathfrak h, \mathbf k)\bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h}$, and for a Lie poset algebra $\mathfrak g$, that $H^*(\mathfrak g, \mathfrak g)$, which controls the deformations of $\mathfrak g$, can be computed from the nerve of the underlying poset. The deformation theory of Lie poset algebras, analogous to that of complex analytic manifolds for which it is a small model, is illustrated by examples.

연구 동기 및 목표

• 리 반직접곱 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 에 대해 코homological 프레임워크를 개발하며, $ \frak{h} $ 가 토랄일 경우 호크시ลด-세르 필터링을 확장한다.
• 기저가 되는 포지트의 네르비를 사용하여 리 포지트 알제브라의 코homology $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 를 계산한다.
• 리 포지트 알제브라의 변형 이론을 심플렉틱 코homology와 복소해석기하학적 변형 이론과 연결한다.
• 무한소 변형을 세 기하학적으로 의미 있는 구성요소로 분류한다: 대수적, 작용, 위상적.

제안 방법

• 토랄인 $ \frak{h} $ 를 가진 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 에 호크시ลด-세르 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 $ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $ 를 도출한다.
• 리 포지트 알제브라 $ \frak{g}(\cal{P}, \mathbf{k}) $ 는 애시오메틱스 포지트 알제브라 $ A(\cal{P}, \mathbf{k}) $ 의 트레이스가 0인 부분대수로 정의되며, 곱셈은 포지트 순서에 의해 정의된다.
• 포지트 $ \cal{P} $ 의 네르비 $ \Sigma $ 를 구성하고, $ \Sigma^+ $ 를 만들기 위해 (-1)-심플렉스를 첨가하여 양의 차수에서 코homological 등가성을 확보한다.
• 등사 $ H^*(\frak{k}, \mathbf{k})_{\mathbf{0}} \cong H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ 를 수립하여 체바레일-에일렌버그 코homology와 심플렉틱 코homology를 동일시한다.
• 등사 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) \cong H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ 를 사용하여 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 를 세 구성요소로 분해한다.
• 특히 특성 0에서 아르틴-하스 은행 또는 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ 를 사용하여 $ \Sigma $ 에서 2-코호모로지의 지수화를 통한 일차원 변형을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토랄인 $ \frak{h} $ 를 가진 리 반직접곱 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 의 코homology 는 호크시ลด-세르 필터링 하에서 어떻게 분해되는가?
• RQ2 기저가 되는 포지트의 네르비로부터 리 포지트 알제브라의 코homology $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 를 계산할 수 있는가?
• RQ3 분해된 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 의 세 구성요소에 대한 기하학적 및 대수적 해석은 무엇인가?
• RQ4 리 포지트 알제브라의 변형은 복소해석기하학적 다양체의 변형과 어떻게 관련되어 있는가, 특히 무한소 구조 측면에서?
• RQ5 포지트의 네르비에서의 2-코호모로지가 언제 형식적 또는 전역적 변형으로 지수화될 수 있는가?

주요 결과

• 토랄인 $ \frak{h} $ 를 가진 리 반직접곱 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ 에 대해 $ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $ 를 만족하며, $ \frak{h} $ 가 토랄로 작용할 경우 강력한 분해를 제공한다.
• 리 포지트 알제브라 $ \frak{g} $ 에 대해 코homology $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ 는 $ H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ 와 동형이며, 여기서 $ \Sigma^+ $ 는 (-1)-심플렉스를 첨가한 포지트의 네르비이다.
• 두 번째 코homology $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ 는 세 구성요소로 분해된다: $ \bigwedge^2 \frak{h}^\vee \otimes \mathfrak{c} $, $ \frak{h}^\vee \otimes H^1(\Sigma, \mathbf{k}) $, 및 $ H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $ 로, 각각 $ \frak{h} $ 의 변형, $ \frak{h} $ 의 작용의 변형, 포지트 위상의 변형에 해당한다.
• $ \mathbf{k} $ 가 $ \mathbb{R} $ 또는 $ \mathbb{C} $ 일 경우, 비자명한 2-코호모로지 $ f \in H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $ 는 $ e_{ij} \star e_{jk} = \exp(t f_{ijk}) e_{ik} $ 를 통해 일차원 변형 가중족을 생성하며, 이는 결합법칙을 만족하고 비자명하다.
• $ \frak{g}(S^2) $ 의 경우, 모든 비자명한 무한소 변형은 (0,2) 유형이며, $ H^2(S^2, \mathbf{k}) \cong \mathbf{k} $ 에 의해 기인하고, 삼중곱이 0이므로 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ 를 통해 실현될 수 있다.
• $ \frak{g}(S^2) $ 의 변형은 $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ 를 통해 동치를 제외하고 유일한 일차원 변형 가중족을 얻으며, 원래 대수는 변형 가중족의 특수화로 복원될 수 있다.