[논문 리뷰] Coisotropic Hofer-Zehnder capacities and non-squeezing for relative embeddings

Samuel Lisi, Antonio Rieser|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고립적 부분다양체에 상대적인 새로운 종류의 심플렉틱 용적, 즉 고립적 호퍼-체른더 용적을 도입한다. 이는 고전적 호퍼-체른더 용적의 수정을 통해 구성되며, 주요 기여는 고립적 부분다양체에 의해 제약을 받는 상대 심플렉틱 매장에 대한 비압축 정리와 유한 용적 및 횡단 조건을 만족할 경우 고립적 부분다양체에 횡단하는 에너지 표면 위에서 잎자국 해석의 존재를 보장하는 것이다.

ABSTRACT

We introduce the notion of a symplectic capacity relative to a coisotropic submanifold of a symplectic manifold, and we construct two examples of such capacities through modifications of the Hofer-Zehnder capacity. As a consequence, we obtain a non-squeezing theorem for symplectic embeddings relative to coisotropic constraints and existence results for leafwise chords on energy surfaces.

연구 동기 및 목표

• . 고립적 부분다양체에 상대적인 심플렉틱 용적을 정의하고 구성한다.
• . 고립적 부분다양체에 의해 제약을 받는 심플렉틱 매장에 대한 비압축 정리를 확립한다.
• . 고립적 부분다양체에 횡단하는 에너지 표면 위에서 잎자국 해밀토니안 해석의 존재를 증명한다.
• . 고립적 잎자국에 대한 동치 관계를 이용해 호퍼-체른더 용적 프레임워크를 고립적 설정으로 확장한다.
• . 주어진 수준 근처의 거의 모든 에너지 수준에서 잎자국 해석이 존재할 조건을 제공한다.

제안 방법

• . 고립적 부분다양체 N ⊂ (M, ω)에 대해, 특성 분할의 동일한 고립 잎 위에 있는 점들 x와 y 사이에 x ∼ y 라는 고립적 동치 관계를 정의한다.
• . 고립적 동치 관계를 사용하여 고전적 호퍼-체른더 용적을 수정함으로써 고립적 호퍼-체른더 용적의 두 예를 구성한다.
• . 이 용적을 사용하여 고립적 구조를 보존하는 상대 심플렉틱 매장 ψ: (M₀, N₀, ω₀) → (M₁, N₁, ω₁)에 대한 비압축 결과를 도출한다.
• . f' ≠ 0 인 해밀토니안 F = f(H)를 구성하고 용적 기반의 추론을 적용하여 에너지 표면 Sλ 위에서 비상수 잎자국 해석의 존재를 증명한다.
• . 유계된 복귀 시간과 컴팩턴스 조건을 가정할 때, 극한 에너지 수준 α에서 해석의 존재를 보이기 위해 아르체라-아스콜리 정리와 컴팩턴스 추론을 적용한다.
• . [19, Chapter 4]의 결과를 변형하여, 매개변수화된 초표면 가중치에서 에너지 수준의 전 measure 집합에서 잎자국 해석이 존재함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 고립적 부분다양체에 상대적인 심플렉틱 용적을 정의할 수 있는가? 이는 호퍼-체른더 용적과 유사한가?
• RQ2 . 유한한 고립적 용적이 존재할 경우, 고립적 부분다양체에 의해 제약을 받는 상대 심플렉틱 매장에 대해 비압축 현상이 발생하는가?
• RQ3 . 어떤 조건에서 고립적 부분다양체 위의 해밀토니안 시스템이 거의 모든 에너지 수준에서 잎자국 해석을 갖는가?
• RQ4 . 복귀 시간이 일관되게 유계일 경우, 극한 에너지 수준에서 잎자국 해석의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ5 . 매개변수화된 초표면 가중치에서 에너지 수준의 전 measure 집합에서 잎자국 해석이 존재할 조건은 무엇인가?

주요 결과

• . 고립적 부분다양체에 대한 상대 심플렉틱 매장에 대한 비압축 정리가 확립되었으며, 이는 고전적 비압축 결과를 일반화한다.
• . 임의의 에너지 수준 α에 대해, 용적 c(M, N, ω, ∼)이 유한하고 Sα가 컴팩트하며 N에 횡단할 경우, 유계된 복귀 시간과 컴팩턴스 조건 하에 Sα 위에 잎자국 해석이 존재한다.
• . Sλj 위에 잎자국 해석이 존재하는 에너지 수준 λj → α의 수열이 존재하며, 이는 α의 이웃에서 모든 λ에 대해 성립한다.
• . 초표면 Sϵ이 c0-립시츠 유형이면서 N에 횡단할 경우, 잎자국 해석이 존재하는 에너지 수준 ϵ ∈ I의 집합은 전체 르베그 측도를 가진다.
• . c(M, N, ω, ∼) < ∞ 라는 가정 하에, 매개변수화된 초표면 가중치에서 에너지 수준의 전 measure 집합에서 잎자국 해석이 존재함을 보장할 수 있다.
• . 용적 이론적 추론과 컴팩턴스 추론을 사용하여, 고전적 폐궤도 존재 정리들을 고립적 부분다양체 위의 잎자국 해석으로 확장한다.