[논문 리뷰] Cokernels of adjacency matrices of random $r$-regular graphs

Hoi H. Nguyen, Melanie Matchett Wood|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 26.

Graph theory and applications참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무작위 $r$-정규 그래프의 인접 행렬의 코커널 분포를 Mészáros의 혼합 결과와 Wood의 모멘트 방법을 사용하여 연구한다. $r \geq 3$일 때, $r$개의 무작위 순열 행렬의 합의 코커널은 유한 아벨 군 위에 한정된 측도로 수렴하며, 이는 $(r,m)$-쌍에 의해 결정되는 모멘트를 가진다. 이는 $p \mid r$일 때 새로운 분포를 드러낸다. 이는 이러한 행렬의 점차적인 비특이성( asymptotic nonsingularity)을 암시한다.

ABSTRACT

We study the distribution of the cokernels of adjacency matrices (the Smith groups) of certain models of random $r$-regular graphs and directed graphs, using recent mixing results of Mészáros. We explain how convergence of such distributions to a limiting probability distribution implies asymptotic nonsingularity of the matrices, giving another perspective on recent results of Huang and Mészáros on asymptotic nonsingularity of adjacency matrices of random regular directed and undirected graphs, respectively. We also remark on the new distributions on finite abelian groups that arise, in particular in the $p$-group aspect when $p\mid r$.

연구 동기 및 목표

• 무작위 $r$-정규 그래프 및 방향 그래프의 인접 행렬의 코커널(스미스 군)의 한계 분포를 이해하는 것.
• 코커널 분포의 수렴을 이러한 행렬의 점차적인 비특이성과 연결하여, Huang의 결과(특이성 확률이 0으로 수렴함)에 대한 대체 증명을 제공하는 것.
• 특히 $p$가 $r$을 나눌 때 $p$-군의 경우에 나타나는 새로운 유한 아벨 군 위의 확률 분포를 특성화하는 것.
• 고정된 행과 열 합을 가진 구조화된 무작위 행렬 집합에 대해 Cohen-Lenstra 히وري스틱을 확장하는 것.
• 모멘트가 $n_{P}$, 즉 $n$의 $P$-부분에 따라 어떻게 의존하는지 분석하여, $r$과 $|V|$가 서로소가 아닐 경우 비균일 수렴이 발생함을 보이는 것.

제안 방법

• Mészáros의 군 위에서의 무작위 걷기의 최신 혼합 결과를 사용하여, $r$개의 독립적인 균일한 $n \times n$ 순열 행렬의 합의 코커널 분포를 분석한다.
• 무작위 유한 아벨 군의 모멘트 방법을 적용하며, 이는 제2저자의 이러한 군에 대한 모멘트 문제 연구에 기반한다.
• $(r,m)$-쌍 $(V, B)$를 정의하고 분석한다. 여기서 $V$는 유한 아벨 군이고 $B$는 코스레트이며, $r$- torsion과 차이에 의한 생성 조건을 포함한다.
• 코커널에서 유한 아벨 군 $V$로의 전사 사상의 수의 한계 기댓값을 계산하며, 이는 모든 $(r,m)$-쌍에 대해 $|H[r]|$의 합과 같다.
• 행렬 작용의 핵의 구조를 이용하여 최소한의 코스레트 구조를 가진 전사 사상의 수를 세며, 군론적 제약 조건을 활용한다.
• 유효한 구성 수가 $|H|^{n-1}|H[r]| + o(|H|^n)$로 증가함을 보여 모멘트의 수렴을 확립하며, 오차는 부분군에 의해 유계된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 $r$-정규 방향 그래프의 인접 행렬의 코커널의 한계 분포는 $n \to \infty$일 때 어떻게 되는가?
• RQ2 코커널 분포는 $r$의 산술적 성질, 특히 소수 $p$가 $r$을 나눌 때 어떻게 의존하는가?
• RQ3 코커널 분포의 수렴은 무작위 $r$-정규 인접 행렬의 점차적인 비특이성을 확립하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 소수 $p$가 $r$을 나눌 때 $p$-군 측면에서 어떤 새로운 분포가 나타나는가?
• RQ5 왜 한계 분포가 $n$이 아니라 $n_{P}$, 즉 $n$의 $P$-부분에 따라 의존하는가? 이는 모멘트에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $r \geq 3$에 대해, $r$개의 독립적인 균일한 $n \times n$ 순열 행렬의 합의 코커널은 $n \to \infty$일 때 유한 아벨 군 위에 한정된 측도로 수렴한다.
• 코커널을 $\prod_{p \in P} \mathbb{Z}_p$와 텐서곱한 것이 유한 아벨 군 $V$와 동형일 확률(여기서 $|V|$는 $P$에 속한 소수들로만 구성됨)은 $\frac{1}{|\operatorname{Aut}(V)|} \prod_{p \in P} \prod_{k \geq 1} (1 - p^{-k})$이다.
• 소수 $p$가 $r$을 나눌 때, 코커널 분포의 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-모멘트는 $2p - 1$이며, $r$과 $p$가 서로소일 경우 기대되는 $1$보다 훨씬 크다.
• 코커널 분포의 모멘트는 $n_{P}$, 즉 $n$의 소수들이 포함된 부분군의 최대 나눗셈에 따라 의존하므로, $n_{P} = m$로 제한되지 않은 한 $n \to \infty$로의 극한은 존재하지 않는다.
• $V = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$이고 $r = p$일 때, $n_{p} = 1$이면 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$-모멘트는 $p$로 수렴하지만, $p \mid n$이면 $p^2$로 수렴하여 비균일 수렴을 보인다.
• 코커널 분포의 수렴은 인접 행렬의 점차적인 비특이성을 암시하며, 고정된 $r \geq 3$에 대해 $p_n \to 0$임을 보여주는 Huang의 결과에 대한 대체 증명을 제공한다.