[논문 리뷰] Combinatorial Spacetimes

David W. Hillman|ArXiv.org|1998. 05. 12.

Genome Rearrangement Algorithms인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 계량을 버리고 유한한 수의 국소적 이웃 구조로 구성된 유한한 영역을 갖는 이산적이고 조합론적인 시공간 모델을 제안한다. 1+1차원에서 행렬, 그래프, 텐서 표현을 사용하여, 조합적 동치 사상—기호 동역학에서의 유량 동치와 밀접하게 관련된—이 국소적이고 정보를 보존하는 변환을 생성하며, 이러한 사상의 대칭 텐서 대수와 교환 법칙이 성립하고 코모노이드가 성립하는 바이알제브라의 추상적 텐서 대수 사이에 동형사상이 존재함을 밝힌다.

ABSTRACT

I investigate a class of dynamical systems in which finite pieces of spacetime contain finite amounts of information. Most of the guiding principles for designing these systems are drawn from general relativity: the systems are deterministic; spacetime may be foliated into Cauchy surfaces; the law of evolution is local (there is a light-cone structure); and the geometry evolves locally (curvature may be present; big bangs are possible). However, the systems differ from general relativity in that spacetime is a combinatorial object, constructed by piecing together copies of finitely many types of allowed neighborhoods in a prescribed manner. Hence at least initially there is no metric. The role of diffeomorphism is played by a combinatorial equivalence map which is local and preserves information content. Most of my results come in the 1+1-dimensional oriented case. There sets of spaces may be described equivalently by matrices of nonnegative integers, directed graphs, or symmetric tensors; local equivalences between space sets are generated by simple matrix transformations. These equivalence maps turn out to be closely related to the flow equivalence maps between subshifts of finite type studied in symbolic dynamics. Also, the symmetric tensor algebra generated by equivalence transformations turns out to be isomorphic to the abstract tensor algebra generated by commutative cocommutative bialgebras. In higher dimensions I study the case where space is a special type of colored graph (discovered by Pezzana) which may be interpreted as an n-dimensional pseudomanifold. Finally, I show how one may study the behavior of combinatorial spacetimes by searching for constants of motion, which typically are associated with local flows and often may be interpreted in terms of particles.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론의 핵심 원리인 결정론, 국소적 진화, 코시 분할을 유지하면서 연속적인 계량을 기각하는 이산적이고 유한한 시공간 모델을 개발하기 위해.
• 특정 방식으로 유한한 종류의 국소적 이웃 구조를 조합함으로써 시공간 기하학이 어떻게 기원할 수 있는지 탐색하기 위해.
• 국소적이고 정보를 보존하는 동치 사상들을 통해 이산적 시공간에서 디피오모르피즘 불변성의 조합론적 해석을 정의하기 위해.
• 조합론적 시공간 변환과 기호 동역학 및 대수적 위상수학에서 알려진 수학적 구조 사이의 관계를 수립하기 위해.
• 페자나가 정의한 색이 있는 그래프를 사용하여 2차원 이상의 차원으로 이 프레임워크를 확장하여, n차원 편만체를 표현하기 위해 사용하기 위해.

제안 방법

• 유한한 수의 허용되는 국소적 이웃 구조를 조합하여 붙이는 방식으로 시공간을 조합론적 복합체로 구성하여 이산적이고 유한한 구조를 형성하기 위해.
• 1+1차원 시공간 구성요소를 음이 아닌 정수로 이루어진 행렬, 방향 그래프, 대칭 텐서로 표현하여 대수적 분석이 가능하도록 하기 위해.
• 정보 내용을 보존하는 변환으로서, 기본적인 행렬 연산에 의해 생성되는 시공간 구성요소 간의 국소적 동치 사상을 정의하기 위해.
• 이러한 동치 사상을 기호 동역학에서 유한형 부분역동계의 유량 동치 사상과 동일시하여 깊은 구조적 유사성을 확립하기 위해.
• 동치 변환에 의해 생성되는 대칭 텐서 대수를 구성하고, 이가 교환 법칙이 성립하고 코모노이드가 성립하는 바이알제브라 위의 추상적 텐서 대수와 동형임을 증명하기 위해.
• 페자나의 색이 있는 그래프를 사용하여 2차원 이상의 차원으로 확장하여, n차원 편만체를 표현하고 조합론적 곡률과 위상을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론의 핵심적 특성들을 유지하면서, 유한한 수의 국소적 이웃 유형으로부터 어떻게 이산적이고 유한한 시공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이산적 시공간에서 디피오모르피즘 불변성의 조합론적 해석은 무엇이며, 어떻게 대수적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 1+1차원에서 시공간 구성요소 간의 동치 사상은 기호 동역학의 알려진 구조와 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 조합론적 시공간에서의 동치 변환의 대수적 구조는 완전히 기술할 수 있으며, 바이알제브라와 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 고차원 시공간에서 곡률과 전반적 위상은 어떻게 이산적이고 조합론적인 프레임워크에 포함될 수 있는가?

주요 결과

• 1+1차원에서 조합론적 시공간 구성요소는 음이 아닌 정수로 이루어진 행렬, 방향 그래프, 대칭 텐서로 동치로 기술될 수 있다.
• 시공간 구성요소 간의 국소적 동치 사상은 기본적인 행렬 변환에 의해 생성되며, 이는 기하학적 부분역동계의 유량 동치 사상과 동형이다.
• 이러한 동치 변환에 의해 생성되는 대칭 텐서 대수는 교환 법칙이 성립하고 코모노이드가 성립하는 바이알제브라 위의 추상적 텐서 대수와 동형이다.
• 조합론적 시공간에서의 보존량은 종종 국소적 유량과 일치하며, 입자 유사 입자로 해석될 수 있다.
• 고차원에서는 페자나의 색이 있는 그래프를 사용하여 n차원 편만체를 표현하며, 위상과 곡률의 조합론적 기술이 가능해진다.
• 이 프레임워크는 인과성과 정보 보존을 유지하는 이산적이고 유한하며 국소적인 역학을 지원하며, 배경에 종속되지 않는 양자 중력 모델의 후보가 될 수 있다.