[논문 리뷰] Commensurators of some non-uniform tree lattices and Moufang twin trees

Peter Abramenko, Bertrand R Emy|ArXiv.org|2004. 02. 18.

semigroups and automata theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 나가오 유형의 비균일 트리 격자에 대해, 특히 무방형 쌍둥이 트리에서 유래하는 경우를 포함하여 넓은 범위의 비균일 트리 격자에 대해, 전체 자동사상군 내에서 공명기의 조밀성을 확립한다. Sh. Mozes의 PSL₂(Fₚ[t⁻¹])에 대한 결과를 일반화하여, 이러한 격자의 공명기가 관련 트리의 자동사상군 내에서 조밀하다는 것을 증명함으로써, 고전적 경우를 초월한 비균일 격자에 대한 일반화된 산술성으로의 확장을 이룬다.

ABSTRACT

Sh. Mozes showed that the commensurator of the lattice ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p[t{}^{-1}] \bigr)$ is dense in the full automorphism group of the Bruhat-Tits tree of valency $p+1$, the latter group being much bigger than ${ m PSL}_2 \bigl({\bf F}_p((t)) \bigr)$. By G.A. Margulis' criterion, this density is a generalized arithmeticity result. We show that the density of the commensurator holds for many tree-lattices among those called of Nagao type by H. Bass and A. Lubotzky. The result covers many lattices obtained via Moufang twin trees.

연구 동기 및 목표

• 브뤼아-티스 트리의 자동사상군 내에서 PSL₂(Fₚ[t⁻¹])의 공명기 조밀성에 대한 Sh. Mozes의 결과를 더 넓은 범위의 비균일 트리 격자로 일반화하는 것.
• 직접 분해된 나가오 유형의 격자에 대해, 공명기가 트리의 자동사상군 내에서 조밀하다는 것을 확립하는 것, 특히 이중정규 케이스에서의 경우.
• 이전에 균일 격자 또는 특정 비균일 케이스에서만 알려졌던 일반화된 산술성의 개념을, 무방형 쌍둥이 트리 프레임워크를 통해 광범위한 비균일 트리 격자에까지 확장하는 것.
• 무방형 쌍둥이 트리에서 유도되는 비선형적이지만 산술적 성격을 띠는 트리 격자가 존재함을 보여주는 것, 특히 근군이 순환군이 아닌 경우를 포함하여.

제안 방법

• 레벨 함수 ℓ: VT → ℕ 가 Γ-불변이면서 수준을 유지하는 자동사상의 부분군 L ⊆ Aut(T)를 유도하는, 직접 분해된 나가오 유형 트리 격자의 클래스를 도입한다.
• 레벨을 유지하는 자동사상의 구조적 성질과 공명기 행동을 이용하여, 이러한 격자에 대해 C(Γ) ∩ L 이 L 내에서 조밀하다는 것을 증명한다.
• 이중정규 트리의 경우, C(Γ)가 L 에 포함되지 않는다면, Mozes의 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 작업에 영감을 얻은 전략을 활용하여 C(Γ) 가 Aut(T) 에서 본질적으로 조밀하다는 것을 보인다.
• 무방형 쌍둥이 트리 이론과 근군 데이터를 활용하여, 임의의 유한 근군(비순환군 포함)을 가진 격자를 구성함으로써 고전적 예제를 일반화한다.
• 랭크-1 근군 데이터로부터 무방형 쌍둥이 트리의 티츠 구성법을 적용하여, 비고전적이고 비선형인 격자도 포함한 새로운 예를 생성한다.
• 왜곡된 카크-무디 군의 보렐 부분군의 유니포텐트 라디칼을 분석하여, 어떤 체에 대해서도 비선형임에도 불구하고 조밀한 공명기를 가진 일부 격자들이 존재함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나가오 유형의 비균일 트리 격자의 공명기는 관련 트리의 전체 자동사상군 내에서 조밀한가?
• RQ2 레벨을 유지하는 부분군 L 내에서 C(Γ) 의 조밀성이 이중정규 트리에서 Aut(T) 전역에 대한 조밀성으로 이어지는가?
• RQ3 이전에 균일 격자나 고전적 나가오 격자에서만 알려졌던 일반화된 산술성(조밀한 공명기를 통한)을 더 넓은 범위의 비균일 격자로 확장할 수 있는가?
• RQ4 비선형적이지만 여전히 조밀한 공명기를 가진 트리 격자가 존재하는가?
• RQ5 무방형 쌍둥이 트리 구성은 임의의 유한 근군(비순환군 포함)을 가진 비균일 격자를 유도할 수 있으며, 이는 선형성과 산술성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 직접 분해된 나가오 유형의 트리 격자의 공명기는 트리의 자동사상군 내에서 항상 조밀하다. 이는 Mozes의 PSL₂(Fₚ[t⁻¹]) 결과를 일반화한 것이다.
• 이중정규 트리의 경우, C(Γ) ∩ L 이 L 내에서 조밀하고 C(Γ) 가 L 에 포함되지 않는다면, C(Γ) 는 Aut(T) 에서 본질적으로 조밀하다.
• 랭크-1 근군 데이터로부터 무방형 쌍둥이 트리를 구성하는 방법을 통해, 임의의 유한 근군(비순환군 포함)을 가진 비균일 격자를 생성할 수 있으며, 예를 들어 F₇× ≅ Z/2×Z/3 와 같은 경우가 포함된다.
• 이러한 구성에서 유도된 격자, 예를 들어 근군이 F₇× 와 동형인 경우, 어떤 체에 대해서도 비선형임에도 불구하고 조밀한 공명기를 가지며, 이는 비선형 산술 격자의 존재를 보여준다.
• SU₃(F_q[t,t⁻¹])의 예는 함수체 위에서 정의된 왜곡된 카크-무디 군이 (Comm) 조건을 만족하지 않는 비균일 격자를 유도할 수 있음을 보여주지만, 다른 구성 방법은 조밀성 결과를 가능하게 한다.
• 논문은 비균일적이며 비선형인 일반화된 산술 격자를 Aut(T) 내에서 체계적으로 구성하는 방법을 제공하며, 이는 고전적 선형군을 초월한 일반화된 산술성의 범위를 확장한다.