[논문 리뷰] Comment on "Controllability of Complex Networks with Nonlinear Dynamics"

Jie Sun, Sean P. Cornelius외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Opinion Dynamics and Social Influence참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 네트워크에서 비선형 역학을 갖는 시스템이 위상에 관계없이 단일 드라이버 노드로 완전히 제어될 수 있다는 널리 인용된 주장에 대해 비판을 제기한다. 저자들은 선형화 기반 방법이 국소적 선형 근사가 성립하지 않는 비국소적 궤적에 의존하기 때문에 본질적으로 오류가 있으며, 이로 인해 주장된 제어 가능성 결과는 타당하지 않으며 새로운 것도 아님을 입증한다.

ABSTRACT

The recent paper by W.-X. Wang, Y.-C. Lai, J. Ren, B. Li & C. Grebogi [arXiv:1107.2177v1] proposed a method for the control of complex networks with nonlinear dynamics based on linearizing the system around a finite number of local desired states. The authors purport that any bidirectional network with one-dimensional intrinsic node dynamics can be fully controlled by a single driver node, which can be any node in the network, regardless of the network topology. According to this result, a network with an arbitrarily large number of nodes (a million, a billion, or even more) could be controlled by a single node. Here we show, however, that this result is specious and that it does not hold true even for networks with only two nodes. We demonstrate that the erroneous results are a consequence of a fundamental flaw in the proposed method, namely, that reaching a local desired state using the proposed linearization procedure generally requires a nonlocal trajectory, which grossly violates the linear approximation. Their further conclusion that network systems with nonlinear dynamics are more controllable than those with linear dynamics is a known fact presented as novel based on a flawed argument. A central problem underlying the authors' argument is that their formulation is entirely based on the number of driver nodes required to reach a desired state---even when this number is one, keeping the system at that desired state generally requires directly controlling all nodes in the network. When this is taken into account, the conclusion that nonlinear dynamics can facilitate network control was already anticipated in S.P. Cornelius, W.L. Kath & A.E. Motter [arXiv:1105.3726v1], which is not referenced in their paper. If one insists on using the authors' formulation, then, in contradiction to their claim, nonlinear systems would never be more controllable than linear ones because...

연구 동기 및 목표

• Wang 등(2011)이 주장한 바와 같이, 차원 수가 1인 비선형 역학을 갖는 임의의 무방향 복잡한 네트워크가 위상에 관계없이 단일 드라이버 노드로 완전히 제어될 수 있다는 주장에 도전하기 위해.
• Wang 등(2011)에서 제안한 선형화 기반 방법의 근본적인 결함을 드러내기 위해, 비록 국소 제어를 위한 선형 근사가 가정되지만 실제로는 비국소 궤적을 요구한다는 점을 밝히기 위해.
• 비선형 시스템이 선형 시스템보다 더 잘 제어된다는 결론이 잘못되었고, 이는 이전 연구에서 다른 이유로 이미 확립되어 있음을 입증하기 위해.
• 핵심 이전 문헌, 특히 Cornelius 등(2011)과 Cowan 등(2011)의 연구를 생략한 점이 원래 주장의 신뢰성과 신선함을 떨어뜨린다는 점을 지적하기 위해.
• 완전한 시스템 제어는 목표 상태에 도달하는 것뿐만 아니라 그 상태를 안정화하는 것 또한 요구되며, 일반적으로 도달하기 위해 필요한 수보다 더 많은 드라이버 노드가 필요하다는 점을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• Wang 등(2011)의 시스템 모델을 분석한다. 이는 제어 입력이 있는, 확산적으로 연결된 차원 수가 1인 비선형 역학 단위로 이루어진 네트워크이다.
• 핵심 결함을 규명한다: 방법은 목표 상태 근처의 선형화가 유효하다고 가정하지만, 그 상태에 도달하기 위해서는 국소 선형 근사의 가정을 위반하는 비국소 궤적이 필요하다.
• 엄밀한 제어 이론 원리를 적용하여, 제어 가능성은 전역적 성질이며 국소 선형화는 전역적 도달 가능성이나 안정화를 보장할 수 없다는 것을 보여준다.
• 이중 노드 네트워크의 반례를 사용하여, 가장 단순한 경우조차도 이 방법이 실패함을 입증함으로써, 단일 드라이버 노드 제어에 대한 일반적 주장이 무효하다는 것을 증명한다.
• Cornelius 등(2011)의 이전 연구와 비교하여, 비선형 시스템에서 안정성 영역을 활용한다는 같은 통찰력이 이미 더 타당한 추론을 통해 이전에 확립되어 있음을 보여준다.
• 비선형 시스템이 선형 시스템보다 더 잘 제어된다는 주장은 논리적으로 모순되며, 선형 시스템 역시 표준 제어 가능성 기준에 따라 단일 드라이버 노드로 충분히 제어 가능하므로, Cowan 등(2011)의 연구에서 이미 확인된 바가 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Wang 등(2011)이 주장한 바와 같이, 차원 수가 1인 비선형 역학을 갖는 임의의 무방향 복잡한 네트워크가 위상에 관계없이 단일 드라이버 노드로 완전히 제어될 수 있는가?
• RQ2 비국소 궤적이 목표 상태에 도달하기 위해 필요할 경우, Wang 등(2011)에서 제안한 선형화 기반 방법이 비선형 네트워크 제어에 대해 유효한가?
• RQ3 비선형 역학이 네트워크 제어를 촉진한다는 주장은 새로운 통찰인가, 아니면 이미 이전 문헌에서 확립되어 있는가?
• RQ4 목표 상태에 도달하는 것 외에 그 상태를 안정화하는 요구 사항이 단일 드라이버 노드 결론의 타당성을 어떻게 떨어뜨리는가?
• RQ5 Cornelius 등(2011)과 Cowan 등(2011)의 핵심 이전 연구를 생략한 것은 원래 주장의 신뢰성과 독창성에 얼마나 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이중 노드 반례를 통해, 차원 수가 1인 비선형 역학을 갖는 모든 무방향 네트워크가 단일 드라이버 노드로 완전히 제어될 수 있다는 주장은 잘못되었음을 입증하였다.
• 제안된 선형화 기반 방법은 목표 상태에 도달하기 위해 비국소 궤적이 필요하므로 실패한다. 이는 국소 선형 근사의 가정을 위반하기 때문이다.
• 비선형 시스템이 선형 시스템보다 더 잘 제어된다는 결론은 새로움이 아니며, 잘못된 추론에 기반한다. 같은 통찰은 이미 Cornelius 등(2011)에서 확립되어 있었다.
• 독립 제어 입력 수(s)로 표현된 Wang 등(2011)의 결과는 성립하지 않으며, n개 이하의 드라이버 노드 수로는 어떤 경우에도 방법이 실패한다.
• 이 방법은 제어 가능성에 대해 필수 조건이자 충분 조건으로서 실패한다. 특히 목표 상태의 안정화를 보장하지 못하기 때문이다. 이는 완전한 제어에 필수적이다.
• 고차원 노드 역학 및 방향성 네트워크로의 방법 일반화 역시 무효하다. 이는 동일한 오류 기반의 기초에 의존하기 때문이다.