[논문 리뷰] Common tangents to convex bodies

Federico Castillo, Joseph Doolittle외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 31.

Point processes and geometric inequalities인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 결과인 두 개의 서로소 원이 네 개의 공통 접선을 가진다는 것을 고차원에서 임의의 볼록체로 일반화한다. 평면의 대칭성과 볼록체의 시야 조건에 기반한 새로운 귀납적 접근법을 사용하여, ℝᵈ 내에서 m개의 강하게 분리된 볼록체는 공통 접선 초평면의 공간이 Sᵈ⁻ᵐ 위상동형임을 증명한다. 이는 d개의 별개의 볼록체가 ℝᵈ에서 정확히 2ᵈ개의 공통 접선을 가진다는 비즈트리츠키의 정리를 조합론적으로 증명하는 데 기여한다.

ABSTRACT

A family of k point sets in d dimensions is well-separated if the convex hulls of any two disjoint subfamilies can be separated by a hyperplane. Well-separation is a strong assumption that allows us to conclude that certain kinds of generalized ham-sandwich cuts for the point sets exist. But how hard is it to check if a given family of high-dimensional point sets has this property? Starting from this question, we study several algorithmic aspects of the existence of transversals and separations in high-dimensions. First, we give an explicit proof that k point sets are well-separated if and only if their convex hulls admit no (k - 2)-transversal, i.e., if there exists no (k - 2)-dimensional flat that intersects the convex hulls of all k sets. It follows that the task of checking well-separation lies in the complexity class coNP. Next, we show that it is NP-hard to decide whether there is a hyperplane-transversal (that is, a (d - 1)-transversal) of a family of d + 1 line segments in ℝ^d, where d is part of the input. As a consequence, it follows that the general problem of testing well-separation is coNP-complete. Furthermore, we show that finding a hyperplane that maximizes the number of intersected sets is NP-hard, but allows for an Ω((log k)/(k log log k))-approximation algorithm that is polynomial in d and k, when each set consists of a single point. When all point sets are finite, we show that checking whether there exists a (k - 2)-transversal is in fact strongly NP-complete. Finally, we take the viewpoint of parametrized complexity, using the dimension d as a parameter: given k convex sets in ℝ^d, checking whether there is a (k-2)-transversal is FPT with respect to d. On the other hand, for k ≥ d+1 finite point sets in ℝ^d, it turns out that checking whether there is a (d-1)-transversal is W[1]-hard with respect to d.

연구 동기 및 목표

• Cappell 등이 고차원에서 엄격한 볼록체에 대해 공통 접선에 대해 얻은 결과를, 다각체를 포함한 임의의 볼록체로 확장한다.
• ℝᵈ 내에서 d개의 별개의 볼록체에 대한 공통 접선 수에 관한 비즈트리츠키의 정리를 조합론적이고 위상수학적인 방법으로 재증명한다.
• ℝᵈ 내에서 m개의 강하게 분리된 볼록체에 대한 공통 접선 초평면의 공간이 (d−m)-차원 구 Sᵈ⁻ᵐ 위상동형임을 확립한다.
• 볼록체의 평면 대칭성과 극 볼록체 내의 시야 조건을 이용하여 공통 접선 초평면의 위상적이고 조합론적 구조를 탐구한다.

제안 방법

• 저자들은 어떤 부분집합의 볼록체들이 나머지 볼록체들로부터 초평면으로 분리될 수 있음을 조건으로 삼아 강한 분리를 정의함으로써, 적절한 기하적 분리를 보장한다.
• 문제를 볼록체의 가중치 합의 극 볼록체 내의 시야 조건으로 변환하기 위해 극 대칭성을 사용한다.
• 이중 공간 내의 시야 조건과 분리 조건을 이용하여 차원을 줄이는 귀납적 추론을 구성한다.
• 비어스커-마니의 셸라빌리티 아이디어와 다면체의 구조를 활용하여, 다각체와 같이 엄격한 볼록성이 없는 볼록체를 다룰 수 있다.
• 매끄럽거나 엄격한 볼록성이 필요로 하지 않기 때문에, 일반적인 볼록체에 적용 가능하다.
• 핵심 기술적 단계는 분리성과 접선 조건을 유지하는 대칭성에 기반한 증명을 통해 접선 초평면의 공간이 Sᵈ⁻ᵐ 위상동형임을 보이는 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝᵈ 내에서 m개의 강하게 분리된 볼록체에 대한 공통 접선 초평면의 집합의 위상적 구조는 무엇인가?
• RQ2 두 개의 서로소 원이 공통으로 가진다 하는 고전적인 네 개의 접선 결과는 고차원에서 임의의 볼록체로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 비즈트리츠키의 정리에 따르면 ℝᵈ 내에서 d개의 별개의 볼록체는 정확히 2ᵈ개의 공통 접선을 가진다. 이는 조합론적이고 위상수학적인 접근을 통해 재증명할 수 있는가?
• RQ4 볼록체가 엄격한 볼록체가 아니면, 예를 들어 다각체일 경우 공통 접선의 공간은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 ℝᵈ 내에서 m ≤ d개의 강하게 분리된 볼록체에 대해 공통 접선의 공간이 항상 Sᵈ⁻ᵐ 위상동형인가?

주요 결과

• m개의 강하게 분리된 볼록체에 대한 ℝᵈ 내 공통 접선 초평면의 공간은 (d−m)-차원 구 Sᵈ⁻ᵐ 위상동형이다.
• 결과는 엄격한 볼록성이 요구되지 않는 일반적인 볼록체, 예를 들어 다각체에 대해서도 성립하며, 이는 이전 결과에서 엄격한 볼록성 조건이 필요로 했던 것을 넘어서는 것이다.
• m = d일 경우 공통 접선 초평면의 수는 정확히 2ᵈ개이며, 이는 비즈트리츠키의 정리를 조합론적으로 확인한다.
• 볼록체가 다각체일 경우 공통 접선 초평면의 집합은 다면체 복합체를 이루며, 이 복합체는 다각체의 경계와 조합론적으로 동치이다.
• 이 증명 기법은 이전의 접근과 근본적으로 다름을 보이며, 미분기하학을 피하고 대칭성과 귀납적 시야 조건의 추론을 사용한다.
• 단순 볼록체 분리는 강한 분리성을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않으며, 논문의 그림을 통해 반례가 제시된다.