[논문 리뷰] Compactifying the Space of Length Functions of a Right-angled Artin Group

Anna Vijayan|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연결되고 삼각형이 없는 정의 그래프를 가진 오른쪽-팔다리 아르틴 군(RAAG)이 2차원 CAT(0) 사각형 복합체 위에서 최소 작용을 할 때, 이에 대응하는 사영화된 이동 길이 함수의 공간이 사영 무한차원 공간 안에서 컴팩트한 닫힘을 가짐을 증명한다. Charney와 Margolis의 결과에 기반하여 이러한 작용이 길이 함수에 의해 결정됨을 고려할 때, 저자들은 정규화된 길이 함수의 균일한 유계성을 증명하고, 유한차원 사영을 통해 이 공간을 컴팩트한 부분집합에 매립함으로써, 자유군의 Outer Space에 대한 Culler와 Morgan의 컴팩트화를 오른쪽-팔다리 아르틴 군으로 일반화한다.

ABSTRACT

Culler and Morgan proved that the length function of a minimal action of a group on a tree completely determines the action. As a consequence the space of minimal actions of a free group on trees, up to scaling (also known as Outer Space), embeds in infinite projective space via the map sending an action to its projectivized length function. They also proved that the image of this map has compact closure. For a right-angled Artin group whose defining graph is connected and triangle-free, we investigate the space of minimal actions on 2-dimensional CAT(0) rectangle complexes. Charney and Margolis showed that such actions are completely determined by their length functions; hence this space embeds in infinite projective space. Here it is shown that the image of the embedding map, that is, the set of projectivized length functions associated to these actions, has compact closure.

연구 동기 및 목표

• 자유군의 Outer Space에 대한 Culler와 Morgan의 컴팩트화를 자유군이 아닌 오른쪽-팔다리 아르틴 군(RAAGs)이 CAT(0) 사각형 복합체 위에서 작용하는 경우로 확장하는 것.
• 2차원 CAT(0) 사각형 복합체 위에서 최소 RAAG 작용에 대응하는 사영화된 이동 길이 함수의 공간이 사영 공간에 컴팩트하게 매립됨을 증명하는 것.
• 정의 그래프가 연결되고 삼각형이 없는 조건 하에서 자유군에서의 길이 함수 접근법을 RAAG로 일반화하는 것.
• 이 컴팩트화된 공간의 경계의 구조를 탐색하며, 이를 측도가 부여된 벽 공간과 같은 일반화된 메트릭 공간 위의 열악한 작용으로 추측하는 것.

제안 방법

• 유한 생성집합 내의 고정된 원소의 최대 이동 거리로부터 유도된 균일한 유계성을 이용해 이동 길이 함수를 정규화한다.
• 군 원소의 노름과 고정된 상수 C에 대한 길이 함수의 경계를 사용하여 R^Ω∖{0} 내의 컴팩트한 부분집합 K를 정의한다.
• 고정된 생성집합 D에 포함된 동치류의 유한 집합을 이용해 길이 함수의 지지집합을 제한한다.
• 정규화된 길이 함수를 사영 공간 P^Ω로 사영하여, 그 이미지가 K의 사영 이미지 내에 포함됨을 보인다.
• 정의 그래프가 차원 2인 동질적 구조를 지닌다는 사실을 활용해 2차원 CAT(0) 사각형 복합체 위에서의 최소 작용을 보장한다.
• 특히 사각형 복합체 내의 모서리 경로와 거리 개념을 다루는 기하군론 기법을 적용하여 길이 함수의 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 CAT(0) 사각형 복합체 위에서 최소 RAAG 작용에 대응하는 사영화된 이동 길이 함수의 공간은 P^∞에서 컴팩트한 닫힘을 가지는가?
• RQ2 자유군의 경우와 마찬가지로 길이 함수가 RAAG의 작용을 유일하게 결정하는가?
• RQ3 이 컴팩트화된 공간의 경계점들은 기하학적으로 어떤 성질을 가지며, 트리 위의 작용으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 측도가 부여된 벽 공간 위의 열악한 작용은 CAT(0) 사각형 복합체 위에서의 최소 작용의 극한으로 나타나는가?
• RQ5 2차원 사례에서 사용된 기법을 n차원 CAT(0) 사각형 복합체 위에서의 고차원 RAAG 작용으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 RAAG 작용에 대응하는 사영화된 이동 길이 함수의 집합은 P^Ω의 컴팩트한 부분집합 내에 포함된다.
• 모든 최소 작용 α에 대해, l^α(g) ≤ C M^α ||g|| 를 만족하는 균일한 상수 C가 존재한다. 여기서 g ∈ A_Γ 이다.
• M^α로 정규화한 후, l'^α는 l'^α(g) ≤ ||g|| 이고, 어떤 d* ∈ D 에 대해 l'^α(d*) ≥ 1/C 를 만족한다. 여기서 D는 유한 생성집합이다.
• 정규화된 길이 함수의 이미지는 R^Ω∖{0} 내의 컴팩트 집합 K에 포함되며, 이 K의 사영 이미지는 컴팩트하다.
• 이 컴팩트성 결과는 자유군에 대한 Culler와 Morgan의 정리가 삼각형이 없고 연결된 정의 그래프를 가진 RAAG로 일반화됨을 보여준다.
• 이 컴팩트화된 공간의 경계는 자유군의 경우 R-트리에 대응하는 측도가 부여된 벽 공간 위의 매우 작은 작용으로 구성되어 있다고 추측된다.