[논문 리뷰] Comparing Fréchet and positive stable laws

Thomas Simon|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 거듭제곱 변환된 안정 분포 변수를 분석하여 양의 스테이블 분포와 프레셰 분포 간의 확률적 순서와 볼록 순서 비교를 수립한다. 일부 정규화된 변환된 ${\bf Z}_{\alpha}$가 지수 분포 및 프레셰 분포에 대해 확률적으로 및 볼록적으로 순서가 정해진다는 것을 증명하며, 안정 분포의 꼬리 및 밀도 행동에 대한 정밀한 경계를 제공하고 미타그레플레르 함수에 대한 균일한 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let ${\bf L}$ be the unit exponential random variable and ${\bf Z}_α$ the standard positive $α$-stable random variable. We prove that $\{(1-α) α^{γ_α} {\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α<1\}$ is decreasing for the optimal stochastic order and that $\{(1-α){\bf Z}_α^{-γ_α}, 0< α< 1\}$ is increasing for the convex order, with $γ_α= α/(1-α).$ We also show that $\{Γ(1+α) {\bf Z}_α^{-α}, 1/2\le α\le 1\}$ is decreasing for the convex order, that ${\bf Z}_α^{-α}\,\prec_{st}\, Γ(1-α) Ł$ and that $Γ(1+\a){\bf Z}_α^{-α} \,\prec_{cx}\,{\bf L}.$ This allows to compare ${\bf Z}_α$ with the two extremal Fréchet distributions corresponding to the behaviour of its density at zero and at infinity. We also discuss the applications of these bounds to the strange behaviour of the median of ${\bf Z}_α$ and ${\bf Z}_α^{-α}$ and to some uniform estimates on the classical Mittag-Leffler function. Along the way, we obtain a canonical factorization of ${\bf Z}_α$ for $α$ rational in terms of Beta random variables. The latter extends to the one-sided branches of real strictly stable densities.

연구 동기 및 목표

• 양의 $\alpha$-스테이블 분포(${\bf Z}_{\alpha}$)의 확률적 행동을 스테이블 및 볼록 순서를 통해 프레셰 분포와 비교하는 것.
• 0과 무한대에서 극단적 프레셰 분포와의 관련성을 통해 ${\bf Z}_{\alpha}$의 꼬리 및 밀도에 대한 정밀한 경계를 도출하는 것.
• 유도된 확률적 순서를 이용하여 고전적 미타그레플레르 함수에 대한 균일한 추정을 수립하는 것.
• ${\bf Z}_{\alpha}$의 유리수 $\alpha$에 대한 표준 인수분해를 베타 및 감마 랜덤 변수를 통해 구성하여 한쪽 방향 스테이블 밀도로 확장하는 것.

제안 방법

• ${\bf Z}_{\alpha}$의 분포적 성질를 분석하기 위해 $\mathbb{E}[e^{-\lambda{\bf Z}_{\alpha}}] = e^{-\lambda^{\alpha}}$를 통한 라플라스 변환 특성화를 사용한다.
• 확률적 순서 이론을 적용: 모든 증가 함수 $\varphi$에 대해 $\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$이면 $X \prec_{st} Y$로 정의하고, 모든 볼록 함수 $\varphi$에 대해 $\mathbb{E}[\varphi(X)] \leq \mathbb{E}[\varphi(Y)]$이면 $X \prec_{cx} Y$로 정의한다.
• 스펙트르ально 음수인 $1$-스테이블 분포를 가진 ${\bf X}$를 이용해 ${\bf S} = e^{{\bf X}}$를 정의하여 표준 하한을 구성한다.
• 거듭제곱 변환을 통한 순서 도출: $\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$, 여기서 $\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$이며, $\alpha$에 대해 단조성을 보인다.
• 항등식 $\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$ 및 $\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$을 사용하여 지수 분포 변수와 비교한다.
• ${\bf Z}_{\alpha}$의 유리수 $\alpha$에 대한 인수분해를 베타 및 감마 변수를 기반으로 한 표현 $X^+(\alpha,\rho)$를 통해 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 $\alpha$-스테이블 분포가 꼬리 및 밀도 행동 측면에서 프레셰 분포와 어떻게 확률적으로 비교될 수 있는가?
• RQ2 정규화된 거듭제곱 변환된 ${\bf Z}_{\alpha}$를 지수 분포 및 프레셰 분포와 볼록 순서로 비교하는 데 볼록 순서를 사용할 수 있는가?
• RQ3 확률적 순서를 통한 ${\bf Z}_{\alpha}$의 유도로 도출된 미타그레플레르 함수에 대한 정밀한 경계는 무엇인가?
• RQ4 유리수 $\alpha$에 대해 표준 인수분해를 통해 베타 및 감마 랜덤 변수를 사용하여 ${\bf Z}_{\alpha}$를 구성할 수 있는가?
• RQ5 매개수 공간의 정상면을 따라 관찰된 볼록 순서의 단조성은 측면으로까지 연장되는가? 이는 한쪽 방향 스테이블 밀도에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• ${\bf Z}_{\alpha}$의 가족 $\{(1-\alpha)\alpha^{\gamma_{\alpha}}{\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$는 $\gamma_{\alpha} = \alpha/(1-\alpha)$일 때, $0 < \alpha < 1$에서 최적의 확률적 순서에 대해 감소함을 보였다.
• ${\bf Z}_{\alpha}$의 가족 $\{(1-\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\gamma_{\alpha}}\}$는 $0 < \alpha < 1$에서 볼록 순서에 대해 증가함을 보였다.
• ${\bf Z}_{\alpha}$의 가족 $\{\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha}\}$는 $1/2 \leq \alpha \leq 1$에서 볼록 순서에 대해 감소함을 보였다.
• ${\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{st} \Gamma(1-\alpha){\bf L}$ 및 $\Gamma(1+\alpha){\bf Z}_{\alpha}^{-\alpha} \prec_{cx} {\bf L}$이 성립하며, 이는 정밀한 경계를 제공한다.
• 유리수 $\alpha$에 대해 ${\bf Z}_{\alpha}$의 표준 인수분해를 베타 및 감마 랜덤 변수를 통해 확보하였으며, 이는 한쪽 방향 스테이블 밀도로 확장된다.
• $\rho \mapsto \Gamma(1+\rho)\Gamma(1-\rho)X^+(1,\rho)$는 $(0,1)$에서 볼록 순서에 대해 비증가함을 보였으며, 이는 매개수 공간 내에서 더 넓은 볼록 순서 구조가 존재할 가능성을 시사한다.