[논문 리뷰] Comparison analysis on two numerical methods for fractional diffusion problems based on rational approximations of $t^{\gamma}, \ 0 \le t \le 1$

Stanislav Harizanov, Raytcho Lazarov외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 02.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 미분 문제를 해결하기 위한 세 가지 수치적 방법을 소개하고 비교한다. 이는 대칭 정부호 행렬의 분수거듭제곱을 다루는 문제이다: BURA 방법(함수 $t^{1-eta}$에 대한 유리근사 기반), 새로운 R-BURA 방법(함수 $t^\beta$에 대한 유리근사 기반), 그리고 Bonito와 Pasciak가 제안한 지수수렴하는 구적법이다. 주요 기여는 $\beta$가 1에 가까울 때 R-BURA가 BURA보다 훨씬 우수한 성능을 보이며, $\beta$가 0에 가까워질 때는 BURA가 뛰어난 성능을 보임을 입증함으로써, 두 방법이 서로 보완적인 특성을 지닌다는 것을 보여준다. 이는 다양한 분수계수에서 정확도와 효율성 면에서의 상호보완적 특성을 반영한다.

ABSTRACT

We discuss, study, and compare experimentally three methods for solving the system of algebraic equations $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$, $0< \alpha <1$, where $\mathbb{A}$ is a symmetric and positive definite matrix obtained from finite difference or finite element approximations of second order elliptic problems in $\mathbb{R}^d$, $d=1,2,3$. The first method, introduced by Harizanov et.al, based on the best uniform rational approximation (BURA) $r_\alpha(t)$ of $t^{1-\alpha}$ for $0 \le t \le 1$, is used to get the rational approximation of $t^{-\alpha}$ in the form $t^{-1}r_\alpha(t)$. Here we develop another method, denoted by R-BURA, that is based on the best rational approximation $r_{1-\alpha}(t)$ of $t^\alpha$ on the interval $[0,1]$ and approximates $t^{-\alpha}$ via $r^{-1}_{1-\alpha}(t)$. The third method, introduced and studied by Bonito and Pasciak, is based on an exponentially convergent quadrature scheme for the Dundord-Taylor integral representation of the fractional powers of elliptic operators. All three methods reduce the solution of the system $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$ to solving a number of equations of the type $(\mathbb{A} +c\mathbb{I})\bf{u}= \bf{f}$, $c \ge 0$. Comprehensive numerical experiments on model problems with $\mathbb A$ obtained by approximation of elliptic equations in one and two spatial dimensions are used to compare the efficiency of these three algorithms depending on the fractional power $\alpha$. The presented results prove the concept of the new R-BURA method, which performs well for $\alpha$ close to $1$ in contrast to BURA, which performs well for $\alpha $ close to $0$. As a result, we show theoretically and experimentally, that they have mutually complementary advantages.

연구 동기 및 목표

• 유한 차분 또는 유한 요소 해법으로부터 유도된 대칭 정부호 행렬 $A$에 대해 $A^\alpha u = f$를 해결하기 위한 세 가지 수치적 방법의 효율성과 정확도를 비교하는 것.
• 함수 $t^{1-\alpha}$에 대한 최적 균일 유리근사(BURA) 방법의 성능를 분석하고, 대신 $t^{\alpha}$를 근사하는 데 기반한 새로운 방법인 R-BURA를 제안하는 것.
• 기존의 BURA 및 Bonito와 Pasciak의 지수수렴 구적법과의 성능를 수렴 속도, 정확도, 계산 비용 측면에서 평가하고 비교하는 것.
• BURA와 R-BURA가 상호보완적임을 입증하는 것: $\alpha \to 0$에 가까울 때 BURA가 가장 효과적이며, $\alpha \to 1$에 가까울 때는 R-BURA가 뛰어난 성능를 보이며, 고정된 메쉬 크기 $h$에서 둘 다 지수수렴 특성을 보임을 보여주는 것.

제안 방법

• BURA 방법은 $[0,1]$에서 $t^{1-\alpha}$에 대한 최적 유리근사 $r_\alpha(t)$를 사용하여 $t^{-\alpha}$에 대한 유리근사를 $t^{-1} r_\alpha(t)$로 구성함으로써, $A^\alpha u = f$ 문제를 여러 개의 이동된 선형계 $(A + cI)u = f$로 환원한다.
• 새로운 R-BURA 방법은 $[0,1]$에서 $t^{\alpha}$에 대한 최적 유리근사 $r_{1-\alpha}(t)$를 기반으로 하며, $t^{-\alpha}$를 $r_{1-\alpha}^{-1}(t)$를 통해 근사함으로써 다른 유리근사 전략을 제안한다.
• Bonito와 Pasciak의 구적법은 $A^\alpha$의 적분 표현에 대해 지수수렴하는 Sinc 구적법을 사용하며, 마찬가지로 이동된 선형계로 문제를 환원한다.
• 세 방법 모두 $A^\alpha u = f$ 문제를 $c \geq 0$인 형태의 선형계 $(A + cI)u = f$의 시퀀스로 환원함으로써, 효율적인 반복 해법을 적용할 수 있도록 한다.
• 이들 방법은 균일한 유한 차분 및 유한 요소 해법을 사용한 2차원 푸아송형 문제에 대해 검증되었으며, 체스판형 및余弦형 우항을 모두 사용하였다.
• 수치 실험은 다양한 메쉬 크기 $h$와 분수계수 $\alpha \in (0,1)$에서 수행되었으며, 정확도와 계산 비용을 비교하기 위해 $\ell^2$ 및 $\ell^\infty$ 오차를 측정하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 새로운 R-BURA 방법이 분수계수 미분 문제를 해결하는 데 있어 기존의 BURA 및 구적법에 비해 정확도와 효율성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 BURA가 $\alpha$가 0에 가까울 때 가장 정확한 것으로 알려져 있음에도 불구하고, R-BURA 방법이 $\alpha$가 1에 가까운 경우에 더 뛰어난 성능를 보이는가?
• RQ3 세 방법 중에서 주어진 정확도 수준을 달성하기 위한 계산 비용은 어떻게 되는가? 특히, 이동된 선형계를 몇 개 풀어야 하는지에 초점을 맞춘다.
• RQ4 고정된 $h$에서 BURA와 R-BURA의 수렴 속도는 유리근사의 차수에 따라 어떻게 변화하는가? 또한 이는 구적법의 지수수렴 특성과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 BURA와 R-BURA의 상호보완적 행동을 활용하여, $\alpha \in (0,1)$ 전반에 걸쳐 전체적으로 더 높은 효율성을 가지는 하이브리드 방법을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• $\alpha = 0.25$일 때, (9,9)-BURA 방법은 10개의 선형계를 풀어야 하지만, $f_1$의 경우 37개의 시스템을 필요로 하는 37-Q 방법보다 낮은 정확도를 달성한다. 이는 유사한 정확도를 얻기 위해 더 높은 계산 비용을 유발한다.
• $\alpha = 0.5$일 때, $k$-Q 방법이 (7,7)-BURA를 능가하려면 $k=16$이 필요하며, (8,7)-R-BURA는 $k=16$, (8,8)-R-BURA는 $k=20$이 필요하다. 이는 구적법이 R-BURA의 정확도를 따라잡기 위해 더 높은 차수의 유리근사를 필요로 함을 보여준다.
• $\alpha = 0.75$일 때, $k$-Q 방법이 (7,7)-BURA를 능가하려면 $k=13$, (8,7)-R-BURA는 $k=17$, (8,8)-R-BURA는 $k=25$여야 한다. 이는 고분수계수에서 R-BURA가 구적법보다 뚜렷이 더 효율적임을 입증한다.
• $f_2$ 및 $\alpha = 0.75$일 때, $k$-Q 방법이 (8,8)-R-BURA를 능가하려면 $k=29$여야 하며, 이는 R-BURA가 해당 구적법 솔버보다 최대 4배 더 효율적일 수 있음을 시사한다.
• R-BURA 방법은 고정된 $h$에서 유리근사의 차수에 대해 지수수렴을 보이며, BURA 및 구적법과 유사한 특성을 지닌다. 그러나 $\alpha$가 1에 가까울 때 더 뛰어난 성능를 보인다.
• 이 연구는 BURA와 R-BURA가 상호보완적임을 확인한다: $\alpha \to 0$에 가까울 때 BURA가 가장 효과적이며, $\alpha \to 1$에 가까울 때는 R-BURA가 뛰어난 성능를 보이며, 두 방법 모두 지수수렴 특성을 보이며, $h \to 0$에 따라 정확도가 악화됨을 보여준다.