[논문 리뷰] Comparison of approaches to characteristic classes of foliations

Anton S. Galaev|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 구조의 무한 차수 프레임 번들의 리만 공간 위에서 정의된 Losik의 특성류와 Crainic 및 Moerdijk가 도입한 Čech-de Rham 특성류 사이의 사상 수립한다. Losik의 형식 기하학적 프레임워크를 사용하여, 프레임 번들의 de Rham 코homology에서 리만 공간의 Čech-de Rham 코homology로의 비단사성 준동형을 구성하며, Losik의 특성류가 Crainic-Moerdijk 특성류로 사상됨을 보이며, Reeb 분할에서의 반례를 통해 이 사상이 일반적으로 단사적이지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

It is shown that the characteristic classes of foliations that were defined by Losik and that take values in the de~Rham cohomology of the space of infinite order frames over the leaf space may be mapped to the characteristic classes with values in the Čech-de~Rham cohomology of the leaf space studied in details by Crainic and Moerdijk. This map is in general non-injective. All constructions are done using Losik's approach to Gelfand formal geometry. A similar result is obtained for the exotic characteristic classes as well as for the group actions of the diffeomorphisms. As illustrating examples, foliations of codimension one are discussed.

연구 동기 및 목표

• 분할의 특성류에 대한 두 가지 서로 다른 접근 방식을 비교한다: Losik의 무한 차수 프레임 번들을 사용한 구성과 Crainic-Moerdijk의 리만 공간의 Čech-de Rham 코homology.
• Losik의 특성류가 프레임 번들의 de Rham 코homology에 속해 있을 때, Crainic-Moerdijk의 특성류가 리만 공간의 Čech-de Rham 코homology에 속하는 정규화된 준동형을 수립한다.
• 이 사상이 일반적으로 비단사적임을 입증하며, S³ 위의 Reeb 분할을 반례로 사용하여, de Rham 코homology에서는 Godbillon-Vey 특성류가 0이지만 프레임 번들의 코homology에서는 0이 아닌 경우를 보인다.
• 다양체 위의 군 작용으로의 구성 확장하여 Bott-Thurston 코chain을 복원하고, 미분형 군 작용의 맥락에서 유사한 비단사성 구조를 보여준다.

제안 방법

• Losik의 형식 기하학적 프레임워크를 사용하여 일반화된 아틀라스와 Dₙ-공간을 정의함으로써, 리만 공간 M/ℱ에 부드러운 구조를 제공한다.
• 각 Dₙ-공간 X에 대해, Čech-de Rham 코hom로 Ȟ*(X)가 BG_X의 H*(BG_X)와 동형이 되는 에탈 군단 G_X를 구성한다.
• de Rham 코hom로 프레임 번들의 성질과 리만 공간의 Čech-de Rham 코hom로의 관계를 연결함으로써, H*(S(X)/O(n))에서 Ȟ*(S(X)/O(n))로의 정규화된 사상을 수립한다.
• 최종 Dₙ-공간(구조를 가진 점)을 사용하여 Haefliger 군단 Γₙ를 실현하고, 특성 사상 H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ)를 유도한다.
• 사슬 호모토피를 적용하여, 프레임 번들의 Čech-de Rham 복합체가 X의 복합체와 quasi-isomorphic하다는 것을 보이며, 사상 μ와 λ 및 호모토피 F를 통해 이를 확인한다.
• 이를 Reeb 분할(S³ 위)과 S¹ 위의 군 작용에 적용하여, H*(X)에서는 0이지만 H*(S(X)/O(1))에서는 비자명한 Godbillon-Vey 특성류가 존재함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Losik의 특성류는 리만 공간 위의 무한 차수 프레임 번들의 de Rham 코homology를 통해 정의되며, Crainic와 Moerdijk의 특성류는 리만 공간의 Čech-de Rham 코homology를 통해 정의된다. 이 두 특성류 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 Losik의 특성류에서 Crainic-Moerdijk의 특성류로 가는 자연스러운 사상이 단사적일까? 만약 아닐 경우, 단사성이 성립하지 않는 장애 요소는 무엇인가?
• RQ3 Godbillon-Vey 특성류가 H*(X)에서는 0이지만 H*(S(M/ℱ)/O(n))에서는 비자명한 경우가 존재할 수 있는가?
• RQ4 이 구성은 다양체 위의 군 작용으로 어떻게 확장되며, Bott-Thurston 코chain과 같은 기존의 불변량을 복원할 수 있는가?
• RQ5 최종 Dₙ-공간은 Haefliger 군단을 통한 특성류 구성의 통합에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Losik가 H*(S(M/ℱ)/O(n))에서 정의한 분할의 특성류는 Crainic와 Moerdijk의 Ȟ*(M/ℱ)에서의 Čech-de Rham 코homology 특성류로 사상되며, 이 두 접근 방식 사이의 정규화된 준동형을 수립한다.
• H*(S(M/ℱ)/O(n)) → Ȟ*(M/ℱ) 사상은 일반적으로 비단사적임을 입증하였으며, 이는 S³ 위의 Reeb 분할에서 H³(S³)에서는 Godbillon-Vey 특성류가 0이지만 H³(S(S³/ℱ)/O(1))에서는 비자명한 경우를 통해 확인된다.
• 최종 Dₙ-공간을 통해 Bott 지도 H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ)를 복원하며, 이는 이 기본적인 사상의 새로운 기하학적 실현을 제공한다.
• 다양체 위의 군 작용에 대해, H*(Wₙ) → H*(S(M/G)/O(n)) → H*(G;Ω(M)) 사상이 유도되며, 이는 S¹ 위의 작용에서 Bott-Thurston 코chain을 복원한다.
• 프레임 번들의 Čech-de Rham 복합체가 X의 복합체와 명시적인 사슬 호모토피를 통해 quasi-isomorphic하다는 것을 확인하였으며, 이는 Ȟ*(S(X)/O(n)) ≅ Ȟ*(X)의 동형을 확인한다.
• 비단사성은 S¹ 위의 군 작용의 예를 통해 추가로 확인되었으며, 이 경우 H*(G;ℝ)에서는 Godbillon-Vey 특성류가 0이지만 H*(S(S¹/G)/O(1))에서는 비자명하다.