[논문 리뷰] Complete bounded holomorphic curves immersed in C^2 with arbitrary genus

Francisco Martín, Masaaki Umehara외 1명|ArXiv.org|2008. 10. 29.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 [MUY]의 종수 0 예제에 López의 변형 방법을 적용하여, 임의의 종수를 가진 리만 곡면의 완전하고 유계인 헬름홀로픽 임베딩을 처음으로 구성한다. 이 기법은 ℝ³에서의 완전하고 유계인 최소 곡면과 ℒ³에서의 약완전하고 유계인 최대 곡면으로 확장되며, 비자명한 위상과 유한 위상 구조를 가진 이러한 곡면에 대한 새로운이고 단순화된 구성 방법을 제공한다.

ABSTRACT

In the previous paper, the authors constructed a complete holomorphic immersion of the unit disk D into C^2 whose image is bounded. In this paper, we shall prove existence of complete holomorphic null immersions of Riemann surfaces with arbitrary genus and finite topology, whose image is bounded in C^2. To construct such immersions, we apply the method used by F. J. Lopez to perturb the genus zero example changing its genus. As an analogue the above construction, we also give a new method to construct complete bounded minimal immersions (resp. weakly complete maximal surface) with arbitrary genus and finite topology in Euclidean 3-space (resp. Lorentz-Minkowski 3-spacetime).

연구 동기 및 목표

• 임의의 종수를 가진 리만 곡면의 완전하고 유계인 헬름홀로픽 임베딩을 ℂ²에 구성하기.
• López의 변형 방법을 확장하여 최소 곡면 구성에서 국소적 유계성과 종수 제어를 달성하기.
• 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 최소 곡면을 유클리드 3차원 공간에서 구성하기 위한 새로운이고 단순화된 방법 제공하기.
• 로렌츠-민코프스키 3차원 공간 ℒ³에서 임의의 종수를 가진 약완전하고 유계인 최대 곡면의 최초의 예를 구성하기.
• 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 영(null) 헬름홀로픽 곡선이 ℂ³에 존재하는지 여부라는 열린 문제를 다루기.

제안 방법

• 논문 [L]에서 제시된 López의 변형 기법을 수정하여, ℂ³ 내 종수 0 헬름홀로픽 임베딩을 변형함으로써 고차 종수를 도입하면서도 완전성과 유계성을 유지한다.
• 종수 κ를 가진 컴act 리만 곡면 M에서 점 Q₀,…,Qₑ의 이웃 영역 ∪Uₗ을 제거하여 M∖∪Uₗ → ℂ²로의 헬름홀로픽 임베딩 X를 구성한다.
• Q₀에서의 극과 Q₁,…,Qₑ에서의 분지점이 있는 M 상의 유리형 함수 f를 사용하여 변형 매개변수를 정의한다.
• 차이의 반복 제곱 (fⱼ₊₁ = (fⱼ − cⱼ)²)을 적용하여 주기와 성장이 제어된 헬름홀로픽 사상의 집합을 생성한다.
• 주기 문제를 해결하기 위해 주기 매핑의 야코비안이 원점에서 최대 질서 3n을 가지며, 해의 존재를 보장한다.
• 적분 ∫a(t)b(t)dt의 유계성을 제어하는 보조 보조정리(보조정리)를 사용하여 유계성을 증명한다. 이 보조정리는 ∫a와 |b|, |b′|에 대한 유계성 조건 하에 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 종수를 가진 리만 곡면의 완전하고 유계인 헬름홀로픽 임베딩을 ℂ²에 구성할 수 있는가?
• RQ2 López의 변형 방법을 수정하여 최소 곡면 구성에서 국소적 유계성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 최소 곡면이 ℝ³에 존재하는가? 그리고 이는 단순화된 방법으로 구성될 수 있는가?
• RQ4 ℒ³에서 임의의 종수를 가진 약완전하고 유계인 최대 곡면이 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 확장하여 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 영 헬름홀로픽 곡선을 ℂ³에 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 종수를 가진 리만 곡면의 완전하고 유계인 헬름홀로픽 임베딩을 ℂ²에 구성하는 최초의 예를 제공한다.
• 이 방법은 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 최소 임베딩을 ℝ³에 생성하며, 이는 이전 접근법보다 새로운이고 더 단순한 구성 방법을 제공한다.
• 로렌츠-민코프스키 3차원 공간 ℒ³에서 임의의 종수를 가진 약완전하고 유계인 최대 곡면의 최초의 예가 구성된다.
• 주기 문제는 주기 매핑의 야코비안이 원점에서 최대 질서 3n을 가지며, 해의 존재를 보장함으로써 해결된다.
• 적분의 유계성은 미분 가능한 함수의 부정적분과 도함수에 대한 유계성 조건 하에 제어하는 보조정리를 통해 확립된다.
• 이 방법은 임의의 종수를 가진 완전하고 유계인 영 헬름홀로픽 곡선을 ℂ³에 구성하는 데로 확장되지 않으며, 이는 여전히 열린 문제로 남아 있다.