[논문 리뷰] Complete topologized posets and semilattices

Тарас Банах, Serhii Bardyla|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 07.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 완전한 위상적 부분순서집합과 반순서집합의 개념을 도입하고 조사하며, 사슬과 방향집합의 상한과 하한의 위상적 닫힘을 중심으로 다룬다. 이는 이러한 구조에서의 완전성—사슬의 상한과 하한의 닫힘으로 정의됨—이 방향집합을 통한 동치로 특징지어질 수 있음을 보이며, 특정 분리 및 컴act성 조건 하에서 완전한 반위상반순서집합의 부분순서가 곱공간에서 닫혀 있음을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of completeness of topologized posets and survey some recent results on closedness properties of complete topologized semilattices.

연구 동기 및 목표

• 위상적 부분순서집합에서 사슬의 상한과 하한이 사슬의 닫힘에 포함되어야 한다는 조건을 형식화하고 분석하는 것.
• 반순서집합에서 위상적 닫힘 성질과 순서론적 완전성 간의 상호작용을 조사하는 것.
• 반위상반순서집합의 부분순서가 곱공간에서 닫혀 있는 조건을 규명하는 것.
• 완전한 반위상반순서집합에서 부분순서 관계의 닫힘 성질과 위상적 분리공리 간의 동치관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 크기가 ${\kappa}$ 이하인 방향집합과 사슬을 사용하여 ${\text{up}}\kappa$-완전 및 ${\text{down}}\kappa$-완전 위상적 부분순서집합의 개념을 도입한다.
• 순서수 귀납법과 상향 방향 부분집합의 재귀적 구성 기법을 적용하여, 사슬 완전성이 방향집합을 통한 완전성으로 이어짐을 증명한다.
• 위상적 성질인 $U$-, $V$-, 및 $\downarrow\uparrow$-닫힘성을 활용하여 반위상반순서집합의 분리성과 순서-닫힘성을 특징지운다.
• 일반위상수학의 결과, 예를 들어 순서공간과 함수적 허프도르프 공간을 적용하여 부분순서의 닫힘 조건을 유도한다.
• Lawson 위상과 닫힌 부분반순서집합의 개념을 활용하여 분리성 및 순서-닫힘 성질을 분석한다.
• 반례(예: [8] 및 [9]에서 제시됨)를 구성하여 완전성이 순서-닫힘에 필수적임을 보이며, $\uparrow$-유한 반위상반순서집합이 부분순서를 닫히지 않을 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 반위상반순서집합의 부분순서가 곱공간에서 닫혀 있는 데에는 어떤 위상적 조건이 필요한가?
• RQ2 $U$-, $V$-, 및 $\downarrow\uparrow$-닫힘성 성질이 반위상반순서집합의 분리공리와 순서-닫힘과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\omega_1$-Lawson 완전한 반위상반순서집합에서 부분순서는 닫혀 있는가?
• RQ4 위상적 부분순서집합의 완전성은 일반적인 방향집합 대신 사슬을 사용하여 동치로 특징지을 수 있는가?
• RQ5 어떤 위상적 성질이 사슬의 닫힘에 그 상한과 하한이 포함되어 있음을 보장하는가?

주요 결과

• 위상적 부분순서집합 $X$가 ${\uparrow}\kappa$-완전임은 모든 크기가 ${\leq \kappa}$인 사슬의 상한이 그 사슬의 닫힘에 포함되어 있을 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 완전한 반위상반순서집합 $X$의 부분순서 $\leq_X$는 $X$가 허프도르프이거나 $\omega$-Lawson이거나 $\vec{T}_{2\delta}$ 조건을 만족할 경우 $X \times X$에서 닫혀 있다.
• 잘 서렬된 또는 $\downarrow$-유한 반위상반순서집합의 경우, 부분순서가 $X \times X$에서 닫혀 있는 것은 $X$가 허프도르프이거나 $\downarrow\uparrow$-닫혀 있을 때에만 성립한다.
• 반례가 존재하여 완전성이 필수적임을 보여준다: $\uparrow$-유한인 메트릭 공간 반위상반순서집합 중에서는 부분순서가 $X \times X$에서 닫혀 있지 않은 경우가 존재한다.
• 반위상반순서집합 $X$가 $U$-반순서집합이고 $\uparrow$-닫혀 있다면, 그 부분순서는 $X \times X$에서 닫혀 있으며, 이는 허프도르프 조건을 함의한다.
• 완전한 반위상반순서집합은 $1$-Lawson이 되는 것과 부분순서가 $X \times X$에서 닫혀 있는 것이 동치이며, 이는 여러 분리 조건 하에서 성립한다.