[논문 리뷰] Completely random measures for modeling power laws in sparse graphs

Diana Cai, Tamara Broderick|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 22.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실세계 네트워크에서 관찰되는 다수의 파워 라우 법적 행동을 포착하기 위해 완전히 무작위 측도, 특히 삼매개변수 베타 과정을 사용하여 희박한 그래프를 위한 새로운 생성 모델을 제안한다. 이 모델은 희박성을 달성하며, 각각 간선 스케일링, 도드랑이 1인 정점, 도드랑이 분포에서 타입 I, IIa, IIIa 파워 라우 법을 나타내며, 기울기가 1.2, 1.1, -1.6인 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

Network data appear in a number of applications, such as online social networks and biological networks, and there is growing interest in both developing models for networks as well as studying the properties of such data. Since individual network datasets continue to grow in size, it is necessary to develop models that accurately represent the real-life scaling properties of networks. One behavior of interest is having a power law in the degree distribution. However, other types of power laws that have been observed empirically and considered for applications such as clustering and feature allocation models have not been studied as frequently in models for graph data. In this paper, we enumerate desirable asymptotic behavior that may be of interest for modeling graph data, including sparsity and several types of power laws. We outline a general framework for graph generative models using completely random measures; by contrast to the pioneering work of Caron and Fox (2015), we consider instantiating more of the existing atoms of the random measure as the dataset size increases rather than adding new atoms to the measure. We see that these two models can be complementary; they respectively yield interpretations as (1) time passing among existing members of a network and (2) new individuals joining a network. We detail a particular instance of this framework and show simulated results that suggest this model exhibits some desirable asymptotic power-law behavior.

연구 동기 및 목표

• 실세계 네트워크에서 관찰되는 실제 스케일링 행동을 포착하는 희박한 그래프를 위한 생성 모델을 개발하기 위해.
• 앨도스–후버 정리의 가정으로 인해 밀도 높은 그래프를 생성하는 기존 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 밀도를 넘어서 도드랑이 분포, 클러스터링, 특징 할당 등 다양한 파워 라우 법 행동을 포함하여 네트워크 모델 도구상자를 확장하기 위해.
• 다양한 기본 측도(예: 삼매개변수 베타 과정 포함)로 인스턴스화할 수 있는 완전히 무작위 측도를 사용하는 유연한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이론적 및 실증적으로 모델이 희박한 그래프 생성에서 바람직한 점근적 파워 라우 법 스케일링 성질을 보이는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 프레임워크는 완전히 무작위 측도(CRMs)를 사용하여 CRMs에서 얻은 무게로부터 독립적인 베르누이 시행을 통해 그래프의 간선 확률을 정의한다.
• 모델은 기저 CRMs로 삼매개변수 베타 과정을 지정하며, 스틱 브레이킹 구조를 사용하여 원소와 무게를 생성한다.
• 계산 가능성을 확보하기 위해 원소의 수를 5000으로 잘라내며, 매개변수 γ=3, θ=1, α=0.1로 설정한다.
• N개의 정점을 샘플링하고 CRM의 무게의 곱에 기반한 간선 확률을 할당하여 그래프를 생성한다.
• N이 증가함에 따라 기존 원소를 인스턴스화할 수 있으며, 이는 새로운 정점 추가가 아니라 기존 정점 간의 진화를 모델링한다.
• N=50에서 2000까지의 범위에서 시뮬레이션을 수행하여 스케일링 행동과 파워 라우 법 피팅을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CRM 기반의 생성 모델은 앨도스–후버 정리가 암시하는 밀도 높은 그래프 행동을 피하는 희박한 그래프를 생성할 수 있는가?
• RQ2 정점 수와 간선 수 사이에 타입 I 파워 라우 법 스케일링이 존재하는가?
• RQ3 정점 수와 도드랑이 1인 정점 수 사이에 타입 IIa 파워 라우 법 스케일링이 존재하는가?
• RQ4 도드랑이 분포는 실세계 네트워크에서 관찰되는 바와 같이 타입 IIIa 파워 라우 법을 따르는가?
• RQ5 모델은 타입 IIb 및 IIIb와 같은 다른 종류의 파워 라우 법을 포착할 수 있는가? 그리고 이론적 점근적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 모델은 정점 수와 간선 수 사이의 제곱 이하 스케일링(기울기 1.2)을 보이며, 이는 타입 I 파워 라우 법을 나타내어 희박한 그래프를 생성함을 입증한다.
• 도드랑이 1인 정점 수는 총 정점 수와 함께 타입 IIa 파워 라우 법 스케일링을 따르며, 고N 영역에서 기울기가 1.1이다.
• 도드랑이 분포는 저도드랑이 정점에서 기울기가 -1.6인 타입 IIIa 파워 라우 법을 나타내어 실세계 네트워크와 일치한다.
• 시뮬레이션 결과는 모델이 동시에 여러 종류의 파워 라우 법 행동을 포착함을 확인하여, 복잡한 네트워크 구조를 모델링할 잠재력을 지닌다.
• 모델의 행동은 기존 모델과 상호보완적이다: 새로운 정점의 추가가 아니라 기존 정점 간의 진화를 해석한다.
• 초기 결과는 모델이 희박한 실세계 네트워크에 대한 향후 이론적 분석과 실용적 추론에 유망한 후보임을 시사한다.