[논문 리뷰] Completeness Theorems for Pomset Languages and Concurrent Kleene Algebras

Michael R. Laurence, Georg Struth|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 bi-Kleene 연산(0, 1, +, ·, ∗, ∥, (∗))를 사용한 pomset 언어에 대한 모든 타당한 전칭 등식이 정규 언어 및 순환-정규 언어의 등식 이론에 의해 유도됨을 증명하여, pomset 언어와 동시 Kleene 대수에 대한 완전성 정리들을 수립한다. 또한 유리 pomset 언어의 클래스가 부울 연산에 대해 닫혀 있음을 보이며, 병렬 반복을 포함하지 않는 bw-유리 항에 대해 생성된 이상 언어는 bw-유리 항을 통해 표현 가능하며, Kleene 공리계와 교환 법칙을 사용하여 등식을 증명할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Pomsets constitute one of the most basic models of concurrency. A pomset is a generalisation of a word over an alphabet in that letters may be partially ordered. A term $t$ using the bi-Kleene operations $0,1, +, \cdot\, ,^*, \parallel, ^{(*)}$ defines a language $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $ of pomsets in a natural way. We prove that every valid universal equality over pomset languages using these operations is a consequence of the equational theory of regular languages (in which parallel multiplication and iteration are undefined) plus that of the commutative-regular languages (in which sequential multiplication and iteration are undefined). We also show that the class of $ extit{rational}$ pomset languages (that is, those languages generated from singleton pomsets using the bi-Kleene operations) is closed under all Boolean operations. An $ extit{ideal}$ of a pomset $p$ is a pomset using the letters of $p$, but having an ordering at least as strict as $p$. A bi-Kleene term $t$ thus defines the set $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) $ of ideals of pomsets in $ \mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] } $. We prove that if $t$ does not contain commutative iteration $^{(*)}$ (in our terminology, $t$ is bw-rational) then $ extbf{Id} (\mathopen{[\![ } t \mathclose{]\!] }) \cap extbf{Pom}_{sp}$, where $ extbf{Pom}_{sp}$ is the set of pomsets generated from singleton pomsets using sequential and parallel multiplication ($ \cdot$ and $ \parallel$) is defined by a bw-rational term, and if two such terms $t,t'$ define the same ideal language, then $t'=t$ is provable from the Kleene axioms for $0,1, +, \cdot\, ,^*$ plus the commutative idempotent semiring axioms for $0,1, +, \parallel$ plus the exchange law $ (u \parallel v)\cdot ( x \parallel y) \le v \cdot y \parallel u \cdot x $.

연구 동기 및 목표

• bi-Kleene 연산을 통한 pomset 언어에 대한 완전성 정리 수립.
• pomset 언어의 등식 이론이 정규 언어 및 순환-정규 언어의 등식 이론의 조합에 의해 완전히 기술됨을 보여주기.
• 유리 pomset 언어의 클래스가 모든 부울 연산에 대해 닫혀 있음을 증명하기.
• pomset 이상의 구조와 bw-유리 항을 통한 표현 방식 조사하기.
• bw-유리 항의 등식이 교환 법칙과 Kleene 공리계가 존재하는 조건에서 증명 가능함을 보여주기.

제안 방법

• 논문은 단어와 순환 단어를 일반화한 유한, 레이블이 부여된 부분 순서 집합으로서 pomsets를 정의한다.
• 순차 및 병렬 연산을 포함하는 bi-Kleene 대수를 순차 및 병렬 반복을 모두 수용하는 대수로 도입한다.
• 언어 차집합 [[t]] − [[t′]]가 유리임을 증명하고, 구조적 귀납법과 항 재작성 기법을 통해 항 간 등식의 결정 가능성을 보인다.
• 이상 언어(Id(L))를 Petri 네트워크에서의 도달 가능성 모델링에 사용하며, Id([[t]]) ∩ Pomsp 가 bw-유리 항을 통해 표현 가능함을 보여준다.
• 합동 관계와 정규 항 표현을 적용하여 복잡한 pomset 항을 등가의 bw-유리 형태로 축소한다.
• Kleene 공리계와 교환 법칙으로부터 유도 가능한 등식이 성립함을 보여줌으로써 완전성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 bi-Kleene 연산을 사용한 pomset 언어에 대한 모든 타당한 전칭 등식이 정규 언어 및 순환-정규 언어의 등식 이론에서 유도될 수 있는가?
• RQ2 유리 pomset 언어의 클래스는 모든 부울 연산에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 bw-유리 항 t에 대해 이상 언어 Id([[t]]) ∩ Pomsp 는 bw-유리 항으로 표현 가능한가?
• RQ4 Id([[t]]) = Id([[t′]]) 이면, 두 bw-유리 항 t와 t′ 간의 등식이 Kleene 공리계와 교환 법칙으로 증명 가능한가?
• RQ5 알파벳 기반의 싱글턴 pomset으로 생성된 pomset 이상 대수는 교환 법칙을 만족하는 bw-유리 대수의 자유 대수인가?

주요 결과

• 모든 bi-Kleene 항 t, t′ 에 대해 언어 [[t]] − [[t′]] 는 유리이며, 등식 [[t]] = [[t′]] 는 결정 가능하다.
• 만약 [[t]] = [[t′]] 가 성립한다면, t = t′ 는 모든 bi-Kleene 대수에서 증명 가능하며, 이는 pomset 언어 대수가 자유임을 보여준다.
• 유리 pomset 언어의 클래스는 보편적인 부울 연산, 특히 보수 연산에 대해 닫혀 있다.
• bw-유리 항(병렬 반복 제외)에 대해 언어 Id([[t]]) ∩ Pomsp 는 bw-유리 항으로 표현 가능하다.
• Id([[t]]) = Id([[t′]]) 이면, bw-유리 항 t와 t′ 간의 등식은 Kleene 공리계와 교환 법칙으로 증명 가능하다.
• 싱글턴 pomset으로 생성된 pomset 이상 대수는 교환 법칙을 만족하는 자유 bw-유리 대수이다.