[논문 리뷰] Completing orientations of partially oriented graphs

Joergen Bang-Jensen, Jing Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 03.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 방향이 부여된 그래프가 주어졌을 때, 미방향화된 간선들을 방향화하여 특정 클래스에 속하는 방향 그래프로 완성할 수 있는지 여부를 결정하는 방향 완성 문제를 제안한다. 연구는 국소 토너먼트와 비순환 국소 토너먼트의 경우 문제를 다항식 시간 내에 해결 가능하다고 밝히지만, 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트의 경우 NP-완전하다고 규명한다. 이는 기존의 적절한 간격 그래프 및 원형 호 그래프 표현 확장 문제의 결과를 일반화하고 확장한다.

ABSTRACT

We initiate a general study of what we call orientation completion problems. For a fixed class C of oriented graphs, the orientation completion problem asks whether a given partially oriented graph P can be completed to an oriented graph in C by orienting the (non-oriented) edges in P. Orien- tation completion problems commonly generalize several existing problems including recognition of certain classes of graphs and digraphs as well as extending representations of certain geometrically representable graphs. We study orientation completion problems for various classes of oriented graphs, including k-arc- strong oriented graphs, k-strong oriented graphs, quasi-transitive oriented graphs, local tournament, acyclic local tournaments, locally transitive tournaments, locally transitive local tournaments, in- tournaments, and oriented graphs which have directed cycle factors. We show that the orientation completion problem for each of these classes is either polynomial time solvable or NP-complete. We also show that some of the NP-complete problems become polynomial time solvable when the input oriented graphs satisfy certain extra conditions. Our results imply that the representation extension problems for proper interval graphs and for proper circular arc graphs are polynomial time solvable, which generalize a previous result.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 방향이 부여된 그래프를 미방향화된 간선들을 방향화하여 특정 클래스에 속하는 방향 그래프로 완성하는 일반적인 방향 완성 문제를 연구함으로써, 이 문제를 체계적으로 탐구하는 것을 목표로 한다.
• 비가역 그래프, 강한 방향 그래프, 기하학적으로 표현 가능한 그래프의 표현 확장 문제 등 기존 문제들을 일반화함으로써, 이 문제들을 포함하는 문제들을 연구한다.
• k-arc-강한, k-강한, 준전이성, 국소 토너먼트, 진입 토너먼트 등 주요 클래스에 대해 방향 완성 문제의 계산 복잡도를 규명한다.
• 특히 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트의 복잡도에 영향을 미치는 구조적 제약 조건(예: 친화적인 부분 방향 부여)의 영향을 탐색한다.
• 적절한 간격 그래프 및 적절한 원형 호 그래프 표현 확장 문제에 대한 기존 결과를 방향 완성 문제와 연결함으로써 이를 확장한다.

제안 방법

• 방향 완성 문제를 결정 문제로 공식화한다: 주어진 부분적으로 방향이 부여된 그래프(pog)의 미방향화된 간선들을 방향화하여 목표 클래스 C에 속하는 방향 그래프를 생성할 수 있는가?
• 복잡도 분석을 위해 축소 기법과 구조적 그래프 이론을 활용한다. 예를 들어, 진입 토너먼트의 경우 2-SAT로의 축소, 방향 순환 인자 탐지 문제와 같은 알려진 NP-완전 문제로의 축소를 수행한다.
• 비가역 그래프의 경우 갈라이의 분해 기법과 그래프에서의 k-연결성 문제에 대한 알려진 알고리즘을 활용하여 특정 경우의 다항식 시간 내 해결 가능성을 도출한다.
• 기존에 알려진 특성(예: 코어 그래프는 비순환 진입 토너먼트로 표현 가능하고, 적절한 원형 호 그래프의 기초가 되는 그래프는 연결된 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트의 기초가 된다)을 활용한다.
• 고정된 k에 대해 로버트슨-세이머 링크성 알고리즘을 적용하여, 입력이 그래프일 경우 비순환 π-링크성 완성 문제를 해결한다.
• 친화적인 부분 방향 부여와 순환 순서(좋음 vs. 뛰어남)와 같은 구조적 성질을 정의하고 분석하여 복잡도의 경계를 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 종류의 방향 그래프 클래스에 대해 방향 완성 문제가 다항식 시간 내에 해결 가능하거나 NP-완전한가?
• RQ2 적절한 간격 그래프의 표현 확장 문제는 비순환 국소 토너먼트에서 방향 완성 문제를 통해 일반화되고 해결될 수 있는가?
• RQ3 입력을 친화적인 부분 방향 부여로 제한했을 때, 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트로의 완성 문제는 다항식 시간 내에 해결 가능해지는가?
• RQ4 k가 고정되어 있을 경우, 비순환 방향에 대한 π-링크성 완성 문제의 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ5 모든 방향 그래프 중에서 좋은 순환 순서를 가진 그래프는 뛰어난 순환 순서도 가질 수 있는가? 이는 순환 순서 문제의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 국소 토너먼트 클래스에 대해 방향 완성 문제가 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 비순환 국소 토너먼트 클래스에 대해 방향 완성 문제가 다항식 시간 내에 해결 가능하며, 이는 기존에 알려진 적절한 간격 그래프 표현 확장 문제의 다항식 시간 해결 가능성과 일반화된 결과이다.
• 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트 클래스에 대해 방향 완성 문제가 NP-완전하다. 이는 국소적으로 전이적인 토너먼트(완전한 토너먼트)의 경우에도 동일하게 유지된다.
• 친화적인 부분 방향 부여로 제한된 경우, 국소적으로 전이적인 국소 토너먼트로의 방향 완성 문제는 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 진입 토너먼트에 대해 방향 완성 문제가 다항식 시간 내에 해결 가능하며, 이는 2-SAT로의 축소에 기반한다.
• 방향 순환 인자에 대한 방향 완성 문제가, 입력이 부분적으로 방향이 부여된 그래프일지라도 여전히 NP-완전하다.