[논문 리뷰] Completion of a Rational Function Sequence of Carlitz

Leonard M. Smiley|arXiv (Cornell University)|2000. 06. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 칼리츠의 유리함수 수열 작업을 완성하며, 지수형 생성함수 ∑n≥1 n^{n−m} z^n / n!을 나무 함수 λ(z) = ∑n≥1 n^{n−1} z^n / n!과 내함수 함수 ζ(z) = λ/(1−λ)의 유리함수로 표현한다. 계수들은 일반화된 스틸링, 오일러안, 베르누이 수와 연관지어지며, 재귀관계가 수립되고, 제2차 오일러안 수와 제2종 스틸링 수 사이의 새로운 항등식이 도출된다.

ABSTRACT

The exponential generating functions of {n^(n+m)} for arbitrary integer m are expressed as rational functions of the e.g.f. of {n^(n-1)} [the tree function] and then of the e.g.f. of {n^n} [the endofunction function]. The coefficients in these rational functions include 2nd-order Eulerian numbers (a result of L. Carlitz), 2nd-order Stirling numbers, and Stirling numbers of the first kind for negative sets (in the sense of D. Loeb). Several combinatorial identities follow.

연구 동기 및 목표

• m ≤ 0 인 경우에 대한 칼리츠의 이전 결과 ∑n≥1 n^{n−m} z^n / n! 을 m ≥ 1 으로 확장한다.
• 이 생성함수의 계수들을 제1종 가상 스틸링 수로 식별하고, 알려진 조합론적 수와 연관지킨다.
• 내함수 변수 ζ = λ/(1−λ) 에 대해 생성함수를 표현함으로써 계수들이 정수 계수 다항식을 이루는 구조를 드러낸다.
• 제2차 오일러안 수와 관련된 제2종 스틸링 수 사이의 새로운 항등식을 유도한다.
• 계수의 점근적 행동을 조사하고, m ≥ 1 인 경우에 대한 조합적 해석 문제를 열어둔다.

제안 방법

• 정수 m 에 대해 G_m(λ) = ∑n≥1 n^{n−m} z^n / n! 을 정의하며, λ = G_1(λ) 및 ζ = G_0(λ) 라고 한다.
• 미분관계 dG_{m+1}/dz = G_m(z)/z 에 기반한 형식적 적분 연산자 𝕀 를 도입하여 𝕀(G_m(λ)) = G_{m+1}(λ) 를 유도한다.
• λ = ζ/(1+ζ) 의 변환을 통해 G_m(λ) 를 ζ 에 대해 표현함으로써, 분자와 분모가 다항식인 ζ 에 대한 유리함수로 전환한다.
• g(m,k) = [g(m−1,k) + g(m−1,k−1)]/k 의 재귀관계를 통해 계수 g(m,k) 를 수립하며, g(m,1) = 1 이고 k > m 일 때 g(m,k) = 0 이다.
• g(m,k) 의 생성함수를 유도하며, ∏_{p=1}^k 1/(p−z) 와 단위 초입방체 위의 적분 표현을 포함한다.
• ζ = λ/(1−λ) 에 의한 역사상 전환을 적용하여, m ≤ 0 인 경우에 대한 칼리츠의 유리함수를 ζ 에 대한 계수가 제2종 스틸링 수와 같은 다항식으로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m ≥ 1 인 경우, 생성함수 ∑n≥1 n^{n−m} z^n / n! 은 나무 함수 λ(z) 의 유리함수로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 이 유리함수의 계수는 어떤 조합론적 또는 수론적 의미를 지니는가?
• RQ3 ζ 에 대한 이 유리함수의 계수는 제2차 오일러안 수 및 제2종 스틸링 수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 제2차 오일러안 수와 관련된 제2종 스틸링 수 사이에 새로운 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 m ≥ 1 인 경우 ζ 전개의 계수의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 이에 대한 조합적 해석은 가능한가?

주요 결과

• m ≥ 1 인 경우, G_m(λ) 는 계수 g(m,k) 가 g(m,k) = [g(m−1,k) + g(m−1,k−1)]/k 를 만족하는 λ 의 차수 m 다항식이다. 여기서 g(m,1) = 1 이다.
• 계수 g(m,k) 는 제1종 가상 스틸링 수로 식별되며, g(m,k) = (−1)^k s(−k, m−k) 와 g(m,k) = −(m−1 choose k) B_{−m}^{(−k)} 를 만족한다. 여기서 B_{−m}^{(−k)} 는 일반화된 베르누이 수이다.
• m ≤ 0 인 경우, G_m(λ) 는 ζ = λ/(1−λ) 에 대한 유리함수로 변환되며, H_{−m}(ζ) = (1+ζ)^{m+1} ∑_{k=1}^m {m+k choose k} ζ^k 를 만족한다. 여기서 {m+k choose k} 는 관련된 제2종 스틸링 수이다.
• 새로운 항등식이 도출된다: ∑_{i=0}^n (n−i−1 choose q−i−1) ⟨⟨n choose i⟩⟩ = {n+q choose q} 로, 제2차 오일러안 수와 제2종 스틸링 수를 연결한다.
• m ≥ 1 인 경우 ζ 전개의 계수는 차수 |m| 의 ζ 에 대한 유리함수이며, 그 점근적 행동이 분석되었지만, 조합적 해석은 여전히 열려 있다.
• g(m,k) 에 대해 여러 생성함수를 수립하였으며, 곱 생성함수 ∏_{p=1}^k 1/(p−z) 와 단위 초입방체 위의 적분 표현: g(m,k) = 1/(k−1)! ∫⋯∫ (1−x₁⋯x_{m−k+1})^{k−1} dx₁⋯dx_{m−k+1} 이 포함된다.