[논문 리뷰] Complex vector bundles and Jacobi forms

Valery Gritsenko|ArXiv.org|1999. 06. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 18인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 캘리바-야 다양체를 초월하여 임의의 복소수 다변량 위에 정의된 헬름홀트 벡터 번들의 두 변수 자동형 함수인 수정된 위튼 특성함수를 도입한다. 이는 타원 특성함수를 캘리바-야 다양체를 넘어서 일반화한 것이다. 위어스트라스 ℘-함수와 아이젠슈타인 급수를 통해 복소수 벡터 번들과 자코비 형식 사이의 연결을 수립하고, 리만 제타-정규화된 곱과 모듈라 형식을 이용한 자코비 스털링 함수의 지수 표현을 제공한다.

ABSTRACT

The elliptic genus (EG) of a compact complex manifold was introduced as a holomorphic Euler characteristic of some formal power series with vector bundle coefficients. EG is an automorphic form in two variables only if the manifold is a Calabi--Yau manifold. In physics such a function appears as the partition function of N=2 superconformal field theories. In these notes we define the modified Witten genus or the automorphic correction of elliptic genus. It is an automorphic function in two variables for an arbitrary holomorphic vector bundle over a compact complex manifold. This paper is an exposition of the talks given by the author at Symposium "Automorphic forms and L-functions" at RIMS, Kyoto (January, 27, 1999) and at Arbeitstagung in Bonn (June, 20, 1999).

연구 동기 및 목표

• 캘리바-야 다양체에서만 자동형인 타원 특성함수를 임의의 헬름홀트 벡터 번들로 일반화하기 위해.
• 캘리바-야 다양체가 아닐 경우에도 모듈라로 유지되는 타원 특성함수의 자동형 보정을 정의하기 위해.
• 스털링 함수와 아이젠슈타인 급수를 이용한 복소수 벡터 번들과 자코비 형식 간의 정밀한 연결을 수립하기 위해.
• 리만 제타-정규화된 곱과 모듈라 형식을 이용한 자코비 스털링 함수의 지수 표현을 제공하기 위해.
• 반정수 인덱스를 가진 약한 자코비 형식 이론을 벡터 번들의 데이터(차수와 모듈라 불변량)를 포함하도록 확장하기 위해.

제안 방법

• 벡터 번들의 형식적 멱급수에서 계수를 가지는 헬름홀트 오일러 특성으로 수정된 위튼 특성함수를 정의하기 위해.
• 자코비 스털링 함수의 로그 미분을 표현하기 위해 위어스트라스 ℘-함수와 그 도함수를 사용하기 위해.
• 스털링 함수의 지수 전개의 계수를 표현하기 위해 아이젠슈타인 급수 $ G_{2k}( au) $ 를 적용하기 위해.
• 리만 제타-정규화된 곱 표현을 사용하여 $ θ(τ,z) $, $ θ(τ,z+θ) $, 그리고 $ θ $ 와 $ θ' $ 의 급수의 지수와 관련된 항등식을 유도하기 위해.
• 벡터 번들의 차수를 통해 수정된 위튼 특성함수를 표현하고, 이를 무게 2, 인덱스 0인 모듈라 형식과 연결하기 위해.
• Weierstrass 함수와 그 도함수 사이의 연결을 제공하는 핵심 항등식 $ \text{exp}\big(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \big) $ 를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원 특성함수는 캘리바-야 다양체가 아닌 임의의 헬름홀트 벡터 번들에 대해 모듈라 자동형 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 자코비 스털링 함수는 위어스트라스 ℘-함수와 아이젠슈타인 급수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 위어스트라스 ℘-함수와 그 도함수는 자코비 스털링 함수의 지수 표현에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 벡터 번들의 차수와 수정된 위튼 특성함수의 모듈라 구조는 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 타원 특성함수의 자동형 보정의 정밀한 모듈라 행동은 어떤가? 특히 무게 2, 인덱스 0인 자코비 형식으로서의 성격은 무엇인가?

주요 결과

• 수정된 위튼 특성함수는 컴acts한 복소수 다변량 위의 임의의 헬름홀트 벡터 번들에 대해 두 변수 자동형 함수이다.
• 항등식 $ θ(τ,z+\theta) = θ(τ,z) \exp\left(-4\tau^2 G_2(\tau) \theta^2 - \frac{\theta_z}{\theta(\tau,z)} \theta \right) $ 는 스털링 함수를 그 도함수와 아이젠슈타인 급수 $ G_2(\tau) $ 와 연결한다.
• 위어스트라스 ℘-함수는 $ \partial_z^2 \log \theta(\tau,z) = -\wp(\tau,z) + 8\pi^2 G_2(\tau) $ 를 만족하며, 이는 미분기하학적 연결을 모듈라 형식과 제공한다.
• 자코비 형식 $ \phi_{-1,1/2} $ 의 지수 표현은 $ \phi_{-1,1/2}(\tau,z) = \frac{\theta(\tau,z)}{\eta(\tau)^3} = (2\pi i z) \exp\left(-\sum_{k\geq 1} \frac{2(2k)! G_{2k}(\tau)}{(2\pi i z)^{2k}} \right) $ 로 주어지며, $ \tau \in \mathcal{H} $ 와 $ z \in \mathbb{C} $ 에서 유효하다.
• 위어스트라스 ℘-함수의 $ n $-번째 도함수는 $ \wp^{(n-2)}(\tau,z) = (-1)^n (n-1)! z^{n+2} \sum_{k\geq 2, 2k\geq n} \frac{(2\pi i)^{2k} G_{2k}(\tau) z^{2k-n}}{(2k-n)!} $ 로 표현되며, 이는 특성함수의 재귀적 구성에 가능하게 한다.
• 수정된 위튼 특성함수는 타원 특성함수의 표준 자동형 보정을 제공하며, 이는 $ z \in \mathbb{Z}\tau + \mathbb{Z} $ 에서 2차 극을 가지는 무리형 자코비 형식으로서 무게 2, 인덱스 0을 갖는다.